Interpolation : les polynômes de Lagrange

Résumé du document

L'objectif de ce document est de montrer comment on peut traiter les polynômes de Lagrange par l'analyse numérique. Après quelques rappels sur les polynômes de Lagrange, on construira un algorithme dans Maple dont on verra les limites : en effet, contrairement à l'intuition mathématique qui veut qu'en raffinant le maillage, l'approximation soit meilleure, ici il n'en est rien. On appliquera la méthode pour l'interpolation d'un cas réel expérimental. Enfin, on proposera une optimisation de l'algorithme par la méthode de Neuville-Aitken.

Extraits

[...] Mais je me suis rendu compte en augmentant encore plus le nombre de points d'échantillonnage que cela ne converge pas du tout puisqu'à partir d'un certain moment, plus on augmente le nombre de points, plus l'écart augmente. Pour ne pas me cantonner à une seule fonction, j'ai essayé de faire la même chose avec une autre fonction, j'ai choisi le logarithme népérien. On obtient exactement le même type de résultat. D Exemple expérimental J'ai ensuite essayé d'interpoler des points expérimentaux que j'avais eu l'occasion de prendre lors de mes expériences de TIPE. [...]

[...] Pour cela, j'ai d'abord créer une fonction qui, a partir d'une fonction réelle, rend une liste de n coordonnées équidistantes du segment Voici par exemple le polynôme d'interpolation que l'on obtient avec un échantillonnage de 3 points de sinus Puis a partir de là, j'ai pu tracer facilement sur le même graphe, la courbe d'une fonction et les courbes de polynômes d'interpolation avec des échantillonnages différents. J'ai pris pour exemple la fonction sinus avec des échantillonnages de 3 à 7 points. On peut voir alors que plus on ajoute de points, plus la courbe d'interpolation est proche du sinus. Pour 7 points d'échantillonnage, à cette échelle, les deux courbes sont m^me confondues. Pour compléter mon étude, je me suis alors dit qu'il serait intéressant de tracer l'écart entre la courbe réelle et les courbes des polynômes d'interpolation à différents degré d'échantillonnage. [...]

[...] Soit le polynôme d'interpolation qui passe par tous les points précédent : P est une valeur approché de f. fk xk Théorème : Il existe un unique polynôme de degré inférieur à n tel que P(xk)=fk pour tout k de 0 à n Existence : Soit le polynôme de Lagrange, lm ( x ) = n k x xk xm xk On remarque que fm.lm(x) vaut fm en xm ailleurs Algorithme : prend en entrée une liste de point et revoie une liste des polynômes de lagrange associés Test avec la liste B Algorithme d'interpolation Existence (suite): On remarque alors que le polynôme tout k P ( x ) = f m .lm ( x ) m=à n vaut fk en xk pour Or P est un polynôme de degré au plus n (en tant que somme de polynôme de degré c'est donc bien l'unique polynôme recherché ! [...]

[...] Je vais passer toutes les considérations théorique pour me concentrer uniquement sur l'algorithme. Voici, codé en Maple, l'algorithme que l'on a étudié en cours. Pour bien visualiser ce que l'on faisait, j'ai fait tracer à Maple le sinus et la courbe d'interpolation que nous calculons On remarque bien que le polynôme d'interpolation est proche de la courbe sur l'intervalle sur lequel nous avons fait notre interpolation. On peut vérifier cela en traçant l'écart entre le sinus et l'interpolée sur cet intervalle. [...]

[...] J'ai alors relevé des points expérimentaux et fait une régression parabolique pour poursuivre mes études C'est cet ensemble de points que j'ai essayé d'utiliser dans ma fonction interpolation de ce devoir pour voir ce que mon programme allait me rendre par rapport à ce que j'attendais : une parabole. Le résultat n'est bien évidemment pas celui auquel on s'attend puisque l'on recherche ici un polynôme qui passe par tous les points expérimentaux. Il faudrait ici faire une fonction qui adapte au mieux un polynôme de degré deux à des points expérimentaux. [...]