Intégrales curvilignes.

Résumé du document

Ce document traite des intégrales curvilignes, à un niveau prépa scientifique / deug de maths ou physique. On y détaille : la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles, la notion de champ de vecteurs, la représentation paramétrique d'une courbe. Puis on applique toutes ces notions au calcul d'intégrales curvilignes. Une généralisation aux courbes C1 par morceaux est donnée, ainsi qu'une application aux calculs de la longueur des arcs de courbe. Enfin la formule de Green-Riemann est énoncée et utilisée sur des calculs d'aires.

Extraits

[...] Hypothèse A partir de maintenant, si est une représentation paramétrique, on suppose que ( et ( sont de classe C1. Intégrales curvilignes 1 Définition Remarques Si est un champ de force, représente le travail de la force X le long de C. La notation est utilisée en thermodynamique. Exemple . C est la courbe d'équation y = 2x2 (parabole). On a et B(1,2). Calculer entre les point A et B. Représentation paramétrique de C . Pour t = on a le point A et pour t = 1 on a le point B. [...]

[...] Si M(C , on note le vecteur tangent à C en M orienté positivement. On définit aussi un vecteur champ de vecteur continu sur C . On définit la longueur de C notée l(C ) par: Calcul de l On a et . Par hypothèse, on a . Et si , D'où: Donc: Remarque On pose et on écrit , s étant une abscisse curviligne sur C Exemple Calcul de la portion de parabole entre et . Rappel On pose t = sh ( avec 0 = sh 0 et 1 = sh((1). [...]

[...] On a un champ de vecteur sur . On étend la relation à des domaines plus complexes en décomposant ces domaines en domaines simples. Un tel domaine D peut s'écrire où les sont "simples". Par conséquent, et on applique Green-Riemann à chaque et on remarque que pour les intégrales curvilignes, les contributions des chemins "en pointillés" sont nulles sur chacun de ces chemins Exemple Calculer dans le domaine limité par Calcul direct 2. Avec Green-Riemann Calcul d'aires Soit D un domaine du plan et ( son bord. [...]

[...] tracé en gris. Ce vecteur a pour support la droite sécante à C , M(t0)M(t0+h). Si on suppose que a une limite quand h(0. La droite support de ce vecteur est la position limite quand h(0 de la droite sécante à C M(t0)M(t0+h). C'est la tangente à C en c'est à dire que est tangent à C en M(t0) Proposition Remarque Si P est un plan avec un repère orthonormé , on peut identifier R2 à P en posant . [...]

[...] Donc Soit la droite joignant A et B. On a pour représentation paramétrique . Dans ce cas, on obtient . Remarque On voit sur cet exemple que l'intégrale dépend du chemin choisi pour aller de A à B Proposition 4 Remarques 7 Proposition Remarque Dans ce cas, on voit que est indépendante du chemin choisi de A vers B Exemple Soit ; et B(3;1). On suppose que est un champ de force. On demande de calculer le travail fourni par la force X quand M se déplace de A vers B. [...]