L’infini comme outil de démonstration mathématique

Thèmes abordés

Infini, démonstration mathématique, programme informatique, ordinaux, algorithme, transitivité, antiréflexivité, antisymétrie, Alan Turing

Résumé du document

La descente infinie de Fermat, qui combine, raisonnement par l'absurde et récurrence, mobilise Ia notion d'infini. On peut aller plus loin et faire intervenir l'infini pour démontrer des théorèmes concrets d'arithmétique ! Prenons Hercule dans son combat contre l'hydre de Lerne comme image...

Depuis Ia révolution numérique de ces dernières décennies, Ie monde est gouverné par les algorithmes... et par leurs bugs ! En général, on attend d'un algorithme qu'il vérifie deux propriétés : Ia correction (renvoyer Ie bon résultat), mais aussi Ia terminaison (répondre au bout d'un temps fini).

Extraits

[...] Cette somme va diminuer strictement à chaque fois que l'on démêle deux segments. Cette quantité peut-elle décroître indéfiniment ? En fait, non, et on s'en convainc facilement en exploitant Ia finitude de l'objet considéré : puisque Ton est partis d'un nombre fini de points, on dispose d'un nombre fini de segments possibles entre ces points, et donc Ia somme des longueurs de tous ces segments ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs possibles. Par conséquent, l'algorithme va finir par s'arrêter au bout d'un nombre fini d'étapes. [...]

[...] En toute rigueur, ces propriétés définissent un ordre strict. Un ordre strict est bien fondé s'il n'existe pas de suite infinie décroissante X0 > X1 > X2 Par exemple, l'ordre usuel [...]

[...] et par leurs bugs  En général, on attend d'un algorithme qu'il vérifie deux propriétés : Ia correction (renvoyer Ie bon résultat), mais aussi Ia terminaison (répondre au bout d'un temps fini). Hélas, Alan Turing a prouvé dès 1936 que Ie problème de l'arrêt était indécidable : il n'existe pas d'algorithme général qui puisse déterminer à coup sûr si un programme va finir par s'arrêter. La preuve est similaire à l'argument diagonal de Cantor : supposons qu'il existe un tel programme, Halt (prog, qui réponde ou à Ia question : que Ie programme prog s'arrête sur l'entrée On peut alors définir un nouveau programme Diagonale : Diagonale : = si Halt = oui alors faire une boucle infinie, sinon terminer. [...]

[...] Si oui, dans quel ordre faut-il les décroiser ? En fait, l'ordre n'a aucune importance : dans tous les cas, notre algorithme termine toujoursla raison, c'est qu'à chaque fois que l'on applique Ia procédure pour désemberlificoter Ie graphe, Ia somme des longueurs des deux nouveaux segments est strictement plus petite que Ia somme des longueurs des segments que l'on a supprimés (ici, AC + BD [...]

[...] Si Ia réponse est par définition, Diagonale (Diagonale) boucle indéfiniment, et Ia réponse devrait donc être Inversement, si Ia réponse est Alors Ia réponse devrait être ï on aboutit à une contradiction, ce qui prouve qu'un tel programme Halt ne peut pas exister. Turing a donc montré qu'il n'existe pas de « recette miracle » pour résoudre Ie problème de l'arrêt. Cela n'empêche pas que Ton puisse prouver mathématiquement, au cas par cas, qu'un programme donné s'arrête (ou non). I. Défaire des segments emmêlés On considère un ensemble fini de points du plan, et des segments reliant ces points (comme un graphe). [...]