Les groupes finis

Résumé du document

Il s'agit d'un cours se composant de deux parties, la première est un rappel sur l'essentiel à savoir en théorie des groupes finis, la seconde quant à elle traite de tous les groupes finis classique que l'étudiant de L3/M1 peut rencontrer.

On dit d'un groupe G qu'il est simple si ses seuls sous groupes distingués sont {e} et G.

Un groupe d'ordre p premier est simple.

Preuve:
Soit G un groupe d'ordre p premier et H un sous groupe de G.
Par le théorème de Lagrange, le cardinal de H divise p. C'est donc 1 ou p car p est premier.
Si c'est 1 alors H={e} ; et si c'est p alors H=G (inclusion + égalité des cardinaux = égalité).
Les seuls sous groupes de G sont G et {e}; G est nécessairement simple.

Extraits

[...] Il est clair que ce groupe est isomorphe au groupe des matrices carrées de déterminant non nul à coefficients dans , noté . Nous allons tout de même montrer que GL(E) muni du produit est un groupe. On a bien prouvé que GL(E) est un groupe. Théorème 1.10 : Soit E un espace vectoriel de dimension alors Preuve : On va montrer que cette application est bijective. En effet: Par conséquent les cardinaux de l'ensemble de départ et d'arrivée sont égaux. On va déterminer le cardinal de l'ensemble d'arrivée et on aura le cardinal de GL(E) de cette manière. [...]

[...] Notons . Soit . Considérons Comme En particulier On a donc , ce qui est impossible car est bijective, par conséquent l'hypothèse n'est pas réduit à l'identité» est absurde, d'où Les groupes diédraux Définition 1.19 : Soit . Soit Pn un polygone régulier à n sommets dans le plan P. Soit l'ensemble des isométries du plan P qui conservent le polygone Pn (ie qui conservent globalement l'ensemble de ses n sommets). est un groupe appelé groupe diédral de degré n. [...]

[...] Le noyau de cette application est SL(E) par définition de SL(E). Cette application est surjective, en effet : on a . En appliquant le premier théorème d'isomorphisme il vient : En passant aux cardinaux : Définition 1.11 : On appelle groupe spécial linéaire d'un espace vectoriel E de dimension l'ensemble suivant . Il est clair que ce groupe est isomorphe au groupe des matrices carrées de déterminant 1 à coefficients dans , noté . Proposition 1.12 : SL(E) est un sous-groupe distingué de GL(E) On peut montrer très facilement ceci en remarquant que SL(E) est le noyau du morphisme de groupe déterminant de GL(E) dans . [...]

[...] On a .De plus C est inclus dans . ) D'où Calculons maintenant le stabilisateur de C sous l'action de : Si alors f fixe 4 points : A,B,C et O qui sont non coplanaires est l'isobarycentre du cube). Donc f est l'identité. D'où On a alors : Le théorème est ainsi prouvé. Le groupe des quaternions Définition 1.27 : Le sous-groupe de constitué par : est appelé groupe des quaternions et est noté Proposition 1.28 : est un groupe d'ordre 8 non abélien. [...]

[...] Soit G un groupe fini. Considérons l'action de G sur un ensemble fini, et notons les orbites de cette action. Le nombre d'orbites est où Preuve : Exemples On va montrer que muni de l'addition est un groupe. Pour cela, il faut d'abord montrer que est un sous-groupe distingué de . Propostion 1.8 : Soit G un sous groupe de alors il existe un unique n positif ou nul de tel que G = . Preuve : Grâce à cette preuve on a que est un sous groupe de . [...]