Graphes eulériens – Graphes hamiltoniens

Résumé du document

Formellement, un graphe est un couple (V,E) où E est une partie de V ×V . V représente l'ensemble des
sommets et E l'ensemble des arêtes. Dans un multigraphe, deux sommets donnés peuvent être reliés par plusieurs arêtes, et une arête peut relier un sommet à lui-même. S'il y a une confusion possible, nous parlerons de graphe simple, et on utilisera le terme de graphe pour d´esigner un multigraphe. Il est naturel de représenter un graphe par une figure composée de points représentant les sommets et de lignes (éventuellement courbes)reliant ces points et représentant les arêtes.
La représentation d'un problème sous forme de graphe permet dans certains cas de donner une solution
simple à la question posée, et ce dans de très nombreux domaines. Prenons par exemple un problème
d'électricité, et cherchons à d´eterminer la résistance équivalente au réseau formé par les arêtes d'un cube, chaque arête représentant une résistance d'1 ohm. On remarque par symétrie que les sommets a et c sont au même potentiel, de même que les sommets d et f. On peut donc les court-circuiter pour obtenir la deuxième figure, puis simplifier les associations en parallèle et en serie. On trouve que la résistance totale est 7/12.

Extraits

[...] Les math´maticiens n'ont pas pu trouver de crit`re g´n´ral de ce genre pour les e e e e cycles hamiltoniens. C'est une lacune regrettable parce que de nombreux probl`mes de la e th´orie des graphes d´pendent de l'existence ou de l'absence de cycles hamiltoniens. e e Ainsi, le probl`me du voyageur de commerce est un probl`me de recherche op´rationnelle e e e qui rappelle les cycles hamiltoniens ; on ne connaˆ pas non plus sa solution g´n´rale. ıt e e Consid´rons un voyageur de commerce amen´ par son travail ` visiter plusieurs villes e e a avant de revenir chez lui. [...]

[...] On dit qu'un graphe est hamiltonien s'il poss`de un cycle hamiltonien. e Un autre exemple tr`s c´l`bre de recherche de cycles hamiltoniens est le probl`me e ee e du cavalier sur un ´chiquier : est-il possible de parcourir l'ensemble des 64 cases d'un e ´chiquier avec un cavalier ? Ce probl`me revient ` chercher un cycle hamiltonien dans e e a le graphe comportant 64 sommets et dans lequel deux sommets sont adjacents si un mouvement du cavalier permet d'aller de l'un ` l'autre. [...]

[...] Le dimanche, les habitants faisaient le e a e e tour de leur ville en se promenant. Le probl`me ´tait le suivant : pouvaient-ils trouver un e e chemin qui les fasse partir de chez eux et y revenir en traversant chaque pont une seule fois ? Comme Euler l'avait fait, notons les diff´rents quartiers C et D. Le graphe G e de la figure 2 mod´lise le probl`me de K¨nigsberg : les sommets repr´sentent les quartiers, e e o e et les arˆtes les ponts. [...]

[...] Graphes, chap Gauthier-Villars Bollobas Modern Graph Theory, pp. 14–20. Springer e Chartrand (Gary) et Oellermann (Ortrud R.). Applied and Algorithmic Graph Theory, chap. International Series in Pure and Applied Mathematics Clark (John) et Holton (Derek Allan). A first look at Graph Theory, chap World Scientific Sakarovitch (Michel). [...]

[...] Th´or`me Un graphe connexe est eul´rien si et seulement si tous ses sommets sont e e e de degr´ pair. e D´monstration. Supposons que G est un graphe connexe eul´rien. Soit C un cycle eul´rien e e e de G ; C doit entrer et sortir le mˆme nombre de fois de chaque sommet, ce qui revient ` e a dire que tous les sommets de G sont de degr´ pair. e Supposons maintenant qu'il existe des graphe connexes dont tous les sommets sont de degr´ pair et qui ne soient pas eul´rien. [...]