Fonctions de plusieurs variables réelles.

Résumé du document

Ce document traite des fonctions réelles de plusieurs variables réelles. Tout d'abord, un rappel sur les propriétés de la valeur absolue est fait.
On s'intéresse ensuite à la topologie de R^n (où R est le corps des réels). Puis les notions de limite et continuité, de dérivées partielles sont abordées pour les fonctions de plusieurs variables. On traite ensuite un peu d'analyse vectorielle, les dérivées d'ordre supérieur à 1, la dérivation des fonctions composées.
Enfin, on voit le théorème des accroissements finis pour les fonctions de plusieurs variables, la formule de Taylor-Lagrange (à l'ordre 2) et les extrema des fonctions de plusieurs variables.

Extraits

[...] On pose Donc On dit que est le segment d'origine X et d'extrémité finale Y. On remarque que Convexité Soit C une partie non vide de R2. On dit que C est convexe si: Exemple Un pavé P est convexe Formule des accroissements finis Formule de Taylor-Lagrange (ordre 1 Fonctions d'une variable Soit une fonction de classe Cn sur et n+1 fois dérivable sur Alors: En particulier, pour n = Fonctions de plusieurs variables Démonstration On fait la preuve à partir de celle du théorème des accroissements finis. [...]

[...] Fonctions de plusieurs variables réelles Valeur absolue Soit a un nombre réel. La valeur absolue de a est par définition le nombre noté a définie de la manière suivante: Si a = a Si a 0 5 Propriété 7 Inégalité triangulaire 9 Proposition Démonstration On a On a donc: De même 10 Corollaire 11 Exercice Soit a un nombre réel tel que . Montrer que a = 0. Raisonnons par l'absurde Supposons a ( 0 On a donc a > 0 On a . [...]

[...] C'est à dire A est borné s'il existe un hypercube centré en O qui contient A Bord On note le bord de A quand ceci a un sens évident Point adhérent Exemple Si est adhérent à A. / x2+y2>0} appartient à A donc est adhérent à A. Les points de sont adhérents à A. Exercices A fermé Limite et continuité 1 Graphe et ligne de niveaux Soit où une fonction numérique de deux variables réelles Graphe On pose Gr(f) = / Le plus souvent Gr(f) est une surface de R Ligne de niveau Soit z0(R. [...]

[...] On Si f:U(R3(R est une fonction de trois variables. On suppose que f est continue et admet des dérivées partielles premières continues. On a par définition: En notant la fonction , on 3 Coordonnées sphériques (Voir le schéma ci-dessus. Ne plus tenir compte de mais tenir compte de Soit M un point dont les coordonnées cartésiennes sont On note la projection orthogonale de M sur le plan xOy. On pose: avec et La latitude est . La donnée de détermine un unique point M. [...]

[...] La donnée des coordonnées polaire détermine le point M. En effet, soit , l'axe défini par , un vecteur unitaire sur OX. On pose étant donné , on détermine un point unique M dont les coordonnés polaires ont On et si M(0 et Soit f:U(R une fonction. On suppose que f possède des dérivées partielles premières sur U. On pose dans R2 Dans un plan est un champ de vecteur défini sur U. Expression du gradient de f en coordonnées polaires On d'où On Posons . [...]