Étude de fonction : Fonction exponentielle, bijection, intégration

Résumé du document

Il s'agit d'un problème de synthèse de mathématiques traitant d'une étude de fonction, fonction exponentielle, bijection, intégration.

Extrait :
"On considère la fonction f définie sur l'intervalle (...)

- Montrer que f peut aussi s'écrire (...)
- Déterminer la limite de f en +(infini)
- étudier les variations de f, dresser son tableau de variations."

Extraits

[...] En définitif, sur ; on a 0 x [...]

[...] De plus, f est strictement croissante sur alors f est une bijection de sur = ; = ; lim f ( x ) [ = ; 1[. x Soient y ; et x R . On a pour tout x R , y = y = + + + y = e2x(y = + e2x = y y 2x = ln y x = définie sur ; par pour tout x ; = ln . y e 2 x e 2 x ln y x = où g est la fonction y y(e2x + = e2x 1 ye2x e2x 3. [...]

[...] étudier les variations de dresser son tableau de variations Montrer que f est une bijection de l'intervalle ; sur ; 1[. Si on appelle f la fonction réciproque de montrer que g est définie par = 1 x 2 x sur l'intervalle ; 1[. 3. Tracer les courbes représentatives de f et g dans un même repère orthogonal ; i ; j ) (unité : 10 cm) ainsi que leur tangente à l'origine. On rappelle que deux fonctions réciproques ont des courbes symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. [...]

[...] I = yf ( y ) Finalement, c. On a J = λ x ) λ( α f ( y )dy αf α 0 f ( y )dy α α 0 f ( y ) dy . est dérivable sur ; et pour tout x ; = ex On écrit alors que pour tout x ; = et par conséquent, une primitive de f sur ; est donnée par la fonction x α 0 f ( x)dx e x x x 0 e α dx . [...]

[...] En posant, pour tout x ; = ex + on en déduit que Par la suite, on a J = ln(e e x ) α 0 = + ln 2 = ln eα α 2 Une valeur approchée de J est J 0,087 et puis, une valeur approchée de I est I D'après l'encadrement de g établi dans la partie B., on a pour tout x x + si et seulement si : x g ( x ) dx De manière calculatoire on en tire que = 0 x x car l'intégrale conserve l'ordre. et = et alors on en tire que x x x + x + x x x On constate de toute évidence la cohérence des résultats de la question précédente 1. c. et de l'encadrement ci avant. [...]