Equation de Laplace en coordonnées polaires.

Résumé du document

Le but de ce document est la résolution numérique par un schéma aux différences d'un problème de
diffusion (−∆u = f) sur un cercle avec des conditions aux limites de type Dirichlet homogène.

On découpe ce document en deux parties :
La première propose l'étude dans le cas particulier où la solution de l'équation −∆u = f est
invariante par rotation de centre (0,0).
La deuxième propose l'étude générale d'un tel problème.
Mais avant d'entamer ces deux parties, nous allons faire quelques rappels et surtout quelques
compléments qui seront donnés à titre introductif. Au delà même de ce document, nous
souhaitons faire une petite étude sur le Laplacien réunissant ses principales propriétés...

Extraits

[...] Son travail vers 1782 avec Lavoisier sur la calorimétrie, sa théorie de la capillarité et ses formules d'électromagnétisme ancrent sa réputation parmi les chimistes et physiciens. L'essentiel de son œuvre scientifique s'attache à fournir un fondement solide à sa théorie de la mécanique céleste, traitant de la stabilité du système solaire, de son origine, et qui motivera en partie sa théorie des probabilités. Les découvertes mathématiques de Laplace reposent sur son insatiable besoin de confronter avec une grande précision les prévisions théoriques et la mesure pratique des phénomènes physiques. La théorie des probabilités montre la nécessité de ne pas se contenter de mesures isolées. [...]

[...] Ce qui donne alors la continuité de a car, par la définition de la norme a (φ ,ψ ) φ H1 (Ω) H1 (Ω) ψ H1 (Ω) Quant à la coercivité, elle apparaît en utilisant l'égalité de Poincaré dans H01(Ω) : * p IR+ telle que ψ L2 ( Ω ) c p L2 ( Ω ) 1 On a donc : H 0 ( Ω ) 1 ψ H1 (Ω) cp La continuité de la forme linéaire l étant évidente, le théorème de Lax-Milgram nous assure l'existence et l'unicité de la solution du problème quelque soit f H01(Ω). Nous interprétons alors ce résultat en disant que le Laplacien : Φ L2(Ω) est un homéomorphisme. a (ψ ,ψ ) Cas Particulier de l'équation de Poisson : Equation de Laplace. Juste un mot sur ce cas particulier, où les solutions portent le nom de fonctions harmoniques. [...]

[...] 1 n2 + 2 2 hθ hθ hθ 2 2 n + 2 hθ hθ hθ Script de la fonction pol2d1.sci qui programme cette partie : //Cas pour i = n //Creation de la matrice A1 //Preallocation diago=zeros(m,1); sodiag=zeros(m-1,1); //Creation de la diagonale: diago=2*(n^2+1/ht^2)*ones(m,1); //Creation de la sous-diagonale: sodiag=-1/ht^2*ones(m-1,1); //indpt de i A1=sparse(diag(sodiag,-1)+diag(diago)+diag(sodiag,1))+ . //Creation du vecteur B1: diagoB1=n*(1/2-n)*ones(m,1); B1=sparse(diag(diagoB1)); introduit les résultats dans 2. Passons à présent à la création du vecteur F. On a fi,j qui est l'interpolé de f au point (ri,θj). On crée tout d'abord le vecteur r des points de la discrétisation de l'intervalle puis le vecteur t des points de la discrétisation de l'intervalle [0,2π]. [...]

[...] Plus ce réel est grand, moins le résultat est fiable. Propriétés : 1. Cond(αA) = Cond(A) pour toute matrice A et tout scalaire α non nul Cond(A) on dit qu'une matrice est bien conditionnée si son conditionnement est proche est de Cond(AB) Cond(A)Cond(B) 4. Si A est une matrice symétrique définie positive alors si Λ et λ représentent respectivement la plus grande et la plus petite valeur propre de A alors Cond(A) pour la norme 2 est égale à : Cond(A) = Λ /λ Si Q est une matrice unitaire alors Cond(Q) = TP 2 : Equation de Laplace en Coordonnées Polaires Tests : Extrait d'une session Scilab qui met en œuvre le programme principal pol.sce -->exec('pol.sce'); Tapez 1 pour pol1, tapez 2 pour pol2 : Entrer un entier n Entrer le rayon R du cercle Ordre du schéma obtenu par calcul numérique : 1.8206066 -->exec('pol.sce'); Tapez 1 pour pol1, tapez 2 pour pol2 : Entrer un entier n Entrer le rayon R du cercle Ordre du schéma obtenu par calcul numérique : - 1.5783297 -->exec('pol.sce'); Tapez 1 pour pol1, tapez 2 pour pol2 : Entrer un entier n Entrer le rayon R du cercle Ordre du schéma obtenu par calcul numérique : 1.7681423 -->exec('pol.sce'); Tapez 1 pour pol1, tapez 2 pour pol2 : Entrer un entier n Entrer le rayon R du cercle Ordre du schéma obtenu par calcul numérique : 1.9947007 On a donc effectué 4 tests : 2 avec pol1.sci et 2 avec pol2.sci Les paramètres sont les suivants R = 1 donc = 1 Avec pol1.sci R = π donc = cos(r) + sin(r)/r R = 1 donc = 1 Avec pol2.sci R = π donc = cos(r) + sin(r)/r La première courbe donne la superposition de la solution exacte et de la solution approchée avec un choix de n rentré au clavier. [...]

[...] le 20 TP 2 : Equation de Laplace en Coordonnées Polaires nombre de points de discrétisation), plus hr (le pas de la discrétisation) diminue et plus l'erreur diminue. D'après l'extrait scilab de la page précédente, la fonction pol2 permet également une excellente approximation de l'ordre des formules, qui est de 2 établi par un calcul théorique plus haut (cf. question 3). Si on devait superposer les deux courbes d'erreur obtenue pour un R donné, on constaterait qu'il s'agit en fait d'une seule courbe. [...]