Les ensembles fractals simples

Résumé du document

Ce document présente une introduction à la notion mathématique de fractal. Les fractals simples suivants sont décrits : le Flocon de Von Koch, le Tapis de Sierpinski et l'ensemble de Cantor. Pour chaque ensemble fractal étudié, des exemples illustrés et une petite biographie sur le mathématicien sont donnés.

Extraits

[...] C'est une figure dont la surface est nulle mais dont le périmètre total de ses trous est infini ! Dans le milieu des années 50, la vision 3D a été beaucoup exploitée, alors Menger, un mathématicien, a appliqué à une nouvelle dimension les ensembles fractales de Sierpinski créant ainsi le cube (ou éponge de Menger) et le tétraèdre de Sierpinski reprenaient les tapis et tamis de Sierpinski, donnant alors des figures encore plus surprenantes. L'ensemble de Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor est un mathématicien allemand né à Saint-Pétersbourg en Russie, le 3 mars 1845 et mort de schizophrénie le 6 janvier 1918 à Halle en Allemagne. [...]

[...] Les ensembles fractals simples le flocon de von koch Niels Fabian Helge Von Koch était un mathématicien suédois. Il est né le 25 janvier 1870 à Stockholm et mort le 11 mars 1924 dans la même ville. La courbe qui porte son nom est un célèbre exemple de courbe de longueur infinie, continue en tout point et dérivable en aucun point, c'est-à-dire une courbe fractale. La courbe originale de Von Koch est aussi appelée courbe du flocon de neige c'est une courbe dite pathologique soit une courbe inventée par les mathématiciens pour démontrer l'exactitude ou la fausseté de certaines idées mathématiques. [...]

[...] C'est cela qu'on appelle la propriété d'autosimilarité d'une courbe fractale. Le flocon est ainsi composé d'une infinité de segments de longueur infiniment petite et la longueur totale des segments qui la composent est infinie. Son périmètre : Si chaque segment du triangle initial a pour longueur à la première étape de la construction, soit à la première itération, le flocon a une longueur de 3l. A l'étape suivante, on remplace chaque segment de longueur l par quatre segments de longueur donc la longueur du flocon est multipliée par 4/3 à chaque étape. [...]

[...] (Sur ces figures, n = 3 itérations.) Le triangle de Sierpinski est obtenu par itération, à l'aide d'un triangle équilatéral ABC, puis on dessine un nouveau triangle équilatéral dont les sommets sont les milieux J et K des côtés et du triangle précédent. On réitère l'opération n fois dans les triangles AJK, KBI, JIB. De la même façon, le tapis de Sierpinski est obtenu à l'aide d'un carré plein. On le partage en 9 et on enlève le carré central. On recommence alors cette opération avec les huit carrés restants et ainsi de suite . En continuant une infinité de fois, on obtient une fractale appelée le tapis de Sierpinski. [...]

[...] L'anneau de Cantor : obtenus en faisant tourner l'ensemble de Cantor autour de son centre, permettant de modéliser les anneaux de Saturne. Le carré de Cantor : l'ensemble de Cantor est appliqué sur les quatre côtés du carré. Le triangle de Cantor : l'ensemble de cantor est appliqué sur les trois côtés du triangle. Le peigne de Cantor qui illustre la construction de l'ensemble sans espace entre deux étapes. [...]