Enseignement problématisé des Mathématiques : Exemples

Résumé du document

La pratique des Mathématiques débute dès l'école élémentaire (principalement au Cycle 2 et au Cycle 3) et fait entrer l'enfant dans une nouvelle conception du monde. En effet les enfants vont construire peu à
peu, et s'approprier les connaissances mathématiques nécessaires à leur futur développement et parcours scolaire, mais également à leur vie quotidienne
(par exemple, afin de comprendre les notions sur l'argent, mais également sur tout ce qu'utilise, au quotidien, un adulte dans sa vie privée et professionnelle).
La résolution des problèmes occupe une place importante dans les programmes scolaires. En effet, résoudre des problèmes aussi bien mathématiques
que scientiques est le propre de l'activité scientifique et du parcours scolaire d'un élève.
Dans ce mémoire, nous allons tenter de comprendre ce qu'apporte la résolution des problèmes aux élèves et pourquoi elle tient une place primordiale
dans les programmes scolaires.
Nous allons donc traiter tout d'abord deux problèmes, qui nous feront ressentir la démarche de l'élève de l'école élémentaire face à un problème donné par son professeur. Le premier, appelé Paradoxe de Lewis Carroll, concernera principalement la géométrie et les calculs qui en découlent. Le second traitera de la numération et de ce que l'on peut appeler un tour
de magie avec les nombres. Pour finir, nous nous pencherons sur le contenu mathématique des programmes scolaires du Cycle 2 et du Cycle 3 mais également sur la prépondérance des problèmes dans ceux-ci, et pour ainsi comprendre ce que la résolution des problèmes apporte à un élève.

Extraits

[...] Ce qui est bien entendu faux 7 Donc, il n'existe pas β R tel que AB = β AD. On peut donc conclure que les vecteurs AB et AD ne sont pas colinéaires. Essayons de trouver γ tel que AC = γ AD Posons γ = AD = 39 Or si AC = γ AD, on aurait =8. Ce qui est bien entendu faux Donc, il n'existe pas γ R tel que AC = γ AD On peut donc conclure que les vecteurs AC et AD ne sont pas colinéaires. [...]

[...] Il s'agit de promouvoir une culture scientique. Nous ne nous intéresserons ici qu'aux Cycle 2 et au Cycle 3. Les objectifs de chaque cycle d'un point de vue du contenu mathématique sont : Cycle 2 : Cycle des apprentissages fondamentaux En proposant une étude structurée des nombres, des formes, des grandeurs et leur mesure, le cycle 2 marque l'entrée véritable des élèves dans l'univers des Mathématiques. Voici dans les grandes lignes, les domaines d'applications : - L'exploitation de données numériques : les problèmes résolus en utilisant une procédure experte, ou en utilisant également une procédure personnelle. [...]

[...] On suppose les trois hypothèses du théorème de Thalès, à savoir : - B est sur la droite - G est sur la droite - est parallèle à Par le théorème de Thalès dans le triangle AED, on a l'égalité : GD BG = AE DE BG GD Or, = = et = = AE DE BG GD Donc, = AE DE Il y a donc une contradiction : une ou plusieurs des trois hypothèses de départ est donc fausse. Cependant, on sait que EGB = et BGD = . Donc, cela implique que l'angle EGD est un angle plat c'est-à-dire que G 9 et D sont alignés. Donc G est sur la droite (ED). Cette hypothèse est vraie. D'autre part, AEG = également. [...]

[...] On dénit la suite Un par : Un+2 = Un + Un+1 U0 = 1 U1 = 1 Cette relation sur notre suite porte un nom : la suite de FIBONACCI. Toutes nos valeurs des gures géométriques vérient cette suite. On d'après les Figures 1 et 2 et les formules sur les aires, que : l'aire du carré (Figure est égale (Un+2 l'aire du rectangle (Figure est égale à (Un+2 +Un+1 On veut savoir si une relation lie la diérence d'aire entre l'aire du carré (Figure et l'aire du rectangle (Figure 2). [...]

[...] C'est-à-dire avec α, β , γ R : AB = αAC AB = β AD AC = γ AD Essayons de trouver α tel que AB = α AC . Posons α= AC = 16 Or si AB = α AC , on aurait =5. Ce qui est bien entendu faux Donc, il n'existe pas α R tel que AB = αAC . On peut donc conclure que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. Essayons de trouver β tel que AB = β AD. Posons α= AD = 26 Or si AB = β AD, on aurait =5. [...]