Constructions à la règle et au compas

Résumé du document

L'étude des constructions géométriques à la règle et au compas remonte à l'Antiquité : dans les éléments d'Euclide, toutes les constructions sont réalisées avec ces deux instruments. De plus, la règle et le compas ont toujours été considérés par les mathématiciens comme les seuls outils de précision pour réaliser des constructions géométriques. Dans l'ouvrage d'Euclide, un certain nombre de problèmes sont soulevés et certains sont restés très célèbres.
C'est le cas par exemple de : la duplication du cube (construire à la règle et au compas un cube ayant un volume double de celui d'un cube donné), la trisection de l'angle (diviser à la règle et au compas un angle en trois angles égaux), la quadrature du cercle (construire à la règle et au compas un carré ayant même aire que celle d'un cercle donné), ou encore le problème de la construction des polygones réguliers.
Ces problèmes, posés dans l'Antiquité, ont passionné de nombreux mathématiciens mais ne furent résolus qu'au XIXème siècle.
C'est à l'explication de ces problèmes et à leur résolution que nous nous attacherons tout au long de cet exposé.

Extraits

[...] Ce syst`me est ´quivalent au syst`me : e e e x2 + y 2 2αx 2βy + γ = 0 2(α α + 2(β β (γ γ ) = 0 et on est ainsi ramen´s au cas pr´c´dent. [Kj+1 : Kj ] 2. e e e Remarquons de plus que [Kn+1 : Kn ] = 2. On peut rendre la suite Kj strictement croissante en supprimant les r´p´titions, e e et on obtient ainsi la suite voulue. R´ciproquement, supposons que K1 K2 . Kp soit une suite de souse corps de C v´rifiant les conditions du th´or`me. [...]

[...] e Th´or`me 2.1 C est un sous-corps de C stable par racine carr´e. e e D´monstration: La d´monstration de ce th´or`me est tr`s g´om´trique. e e e e e e e En effet nous allons, pour chaque propri´t´ que doit poss´der un ensemble ee e pour ˆtre un corps, exhiber une construction qui illustre cette propri´t´. Pour e ee simplifier la d´monstration, nous commencerons par montrer que C R est e un sous corps de R stable par a a . Si u C R alors C. [...]

[...] Montrons par r´currence sur e e e e 1 j que Kj C. Il en r´sultera bien que α est constructible. e On a K1 C car K1 = Q C. Supposons que Kj C et montrons qu'alors Kj+1 C. Soit β Kj+ La famille β; β 2 ) est li´e sur Kj car [Kj+1 : Kj ] = 2 donc il existe c Kj e non tous nuls tels que aβ 2 + bβ + c = 0. Si a = 0 alors β = Kj C. [...]

[...] Alors le cercle de centre A et de rayon v coupe Ox en B et B d'abscisse u v. Donc u + v est constructible v B O u A v B' Si v C R alors u v C R. Soit A le point de Ox tel que OA = u et B le point de Oy tel que OB = v. La parall`le ` passant par A coupe Oy en C. En appliquant le th´or`me e a e e de Thal`s, on obtient OC = u v. [...]

[...] Les droites et cercles consid´r´s ci-dessus devant n´cessairement ˆtre cone e e e structibles ` partir de M a Dans la suite, nous dirons simplement qu'un tel point est constructible Premiers r´sultats e En guise d'exemples et pour simplifier les d´monstrations ult´rieures, nous e e donnons ici quelques constructions ´l´mentaires. ee Lemme 1.3 Si D est une droite constructible et A un point constructible, la perpendiculaire ` D passant par A est constructible. a D´monstration: Comme D est constructible, elle contient au moins deux e points E et F constructibles. Le cercle de centre A et de rayon AE coupe D en G. [...]