Comment la convexité permet-elle d'optimiser certains marchés économiques ?

Thèmes abordés

Convexité, optimisation de marchés économiques, mathématiques, représentation graphique d'une fonction, fonctions concaves, productivité marginale du travail, point d'inflexion

Résumé du document

Qu'est-ce que la convexité ? Elle correspond à une notion très utilisée en mathématiques et notamment appliquée aux fonctions et elle consiste à vérifier si les tangentes de la représentation graphique d'une fonction dérivable se situent au-dessus de cette dernière (dans ce cas-là on dit que la fonction est convexe) ou au-dessous (dans ce cas-là on dit que la fonction est concave). Nous exposerons au cours de notre argumentaire la méthode mathématique qui permet de savoir si une fonction est convexe ou concave.
Dans le cas présent, ce qui nous intéresse c'est de savoir comment sont utilisées ces fonctions convexes et concaves dans la recherche d'optimisation de certains marchés économiques.

Extraits

[...] Un peu de théorie mathématique L'étude de la convexité d'une fonction de production est une question récurrente dans de nombreux sujets d'examens de l'épreuve de mathématiques de terminale. Pour étudier la convexité d'une fonction, il convient de la dériver deux fois et d'analyser le signe de sa dérivée seconde. Ainsi, lorsqu'une dérivée seconde est positive on dit que la fonction de production est convexe sur l'intervalle correspondant et lorsqu'une dérivée seconde est négative on dit que la fonction de production est concave sur l'intervalle correspondant. S'il y a un changement de signe, la valeur pour laquelle la dérivée seconde est nulle correspond au point d'inflexion. [...]

[...] Convexité ou concavité ? La compréhension des théories scientifiques concernant les fonctions convexes et les fonctions concaves nous permet d'analyser plus en profondeur le fonctionnement de certains concepts économiques et notamment ceux en lien avec l'analyse des fonctions de production. Prenons l'exemple d'une fonction de cette fonction de production Nous constatons au regard de cette courbe que la productivité marginale du travail, qui correspond à la productivité de la dernière unité d'un facteur de production utilisée, est décroissante. Ceci est perceptible grâce au fait que si nous nous déplaçons sur la droite le long de cette courbe représentant la fonction de production, nous constatons que la pente de la tangente diminue de plus en plus et comme cette tangente se situe au-dessus de notre courbe nous sommes dans une situation de concavité. [...]

[...] Conclusion Étudier la convexité d'une fonction revient d'un point de vue mathématique à visualiser si les tangentes de cette dernière se situent en dessus ou en dessous de la représentation graphique de cette courbe et si aucune visualisation n'est possible cela revient à étudier le signe de sa dérivée seconde. Au-delà de cette application théorique mathématique, connaître la convexité d'une fonction permet d'optimiser certaines situations économiques et de procéder aux choix les plus judicieux en fonction des agents économiques qui constituent le marché. Comment font ces agents économiques pour optimiser leurs fonctions de production ? Doivent-ils par exemple privilégier un travail acharné sur une courte période ou un travail régulier afin d'optimiser leurs notes aux examens ? [...]

[...] Une fois son réseau d'amis constitué, il va se consacrer à son travail 9 heures par jour durant le deuxième semestre pour rattraper le temps perdu soit une moyenne de 0 + 9/2 = 4,5 heures sur les deux semestres. Plutôt que de travailler aussi intensément au second semestre et mettre de côté le premier, une autre possibilité aurait été de consacrer 4,5 heures de travail quotidien et de se dégager un temps libre journalier qui lui permette de maintenir et de développer son réseau amical. [...]

[...] Comment la convexité permet-elle d'optimiser certains marchés économiques ? Introduction La convexité c'est quoi ? Elle correspond à une notion très utilisée en mathématiques et notamment appliquée aux fonctions et elle consiste à vérifier si les tangentes de la représentation graphique d'une fonction dérivable se situent au-dessus de cette dernière (dans ce cas-là on dit que la fonction est convexe) ou au-dessous (dans ce cas-là on dit que la fonction est concave). Nous exposerons au cours de notre argumentaire la méthode mathématique qui permet de savoir si une fonction est convexe ou concave. [...]