Approximation numérique de solutions d'équations différentielles

Résumé du document

Ce sont les transparents utilisés lors de mon passage de TIPE. J'ai obtenu la note de 19.5/20.

Le but de ce document est de présenter les méthodes numériques pemettant de trouver une approximation numérique de solutions d'équations différentielles. Dans un premier temps, on s'intéresse aux différentes méthodes d'approximation (méthode d'Euler, méthodes de Runge-Kutta, notions sur les méthodes à pas multiples), ensuite aux erreurs de calculs et optimisation des méthodes (effet des erreurs d'arrondis sur la méthode d'Euleur et optimisation du pas, estimation de l'erreur, contrôle du pas et méthodes de Runge-Kutta emboîtées) et enfin aux méthodes des éléments finis (principe de la méthode, fondements théoriques, étude d'équations différentielles linéaires du second ordre avec la méthode de Galerkine).

Extraits

[...] méthodes de Runge-Kutta emboîtées, lorsque l'on a une méthode de Runge-Kutta d'ordre p dont le tableau . se déduit du précédent en supprimant la dernière ligne cq a q b1 et la dernière colonne. a1,q a q bq b'q b'q La méthode d'ordre p' sert à estimer l'erreur de consistance pour le contrôle du pas et la méthode d'ordre p sert à calculer la solution approchée. III. Méthodes des éléments finis Principe de la méthode Définition : une forme bilinéaire est coercive sur V si > 0 : , a , v ) α v H Formulation variationnelle : on cherche à se ramener à une équation équivalente à l'équation différentielle de la forme : H , où a est une forme bilinéaire (symétrique) continue coercive sur H et F une forme linéaire continue sur à l'aide d'intégrales. [...]

[...] b b Formulation variationnelle : a a b α u ( x ) x )dx + β u ' ( x ) ( x )dx = f ( x ) x )dx + β[v( x ' ( x a b On décompose u et v sur une base de fonctions de forme : m m = j=1 u j N j ( x ) , x ) = i b a v i N i . N i ( x ) N j ( x )dx . N ( x ) j ( x )dx . Matrice de masse : M ij = Matrice de rigidité : K ij = Vecteur de charge : Fj = b b a a f ( x ) N j ( x )dx . L'équation s'écrit sous forme matricielle : α β β S). [...]

[...] Approximation numérique de solutions d'équations différentielles Approximation numérique de solutions d'équations différentielles Introduction La résolution des problèmes physique passe très souvent par la résolution d'équations différentielles. Je me suis donc intéressé à l'étude de quelques méthodes d'approximations de solutions d'équations différentielles pour ainsi prévoir de façon satisfaisante le comportement de la solution en la discrétisant. Plan I. Différentes méthodes d'approximation La méthode d'Euler Les méthodes de Runge-Kutta Notions sur les méthodes à pas multiples II. Erreurs de calculs et optimisation des méthodes Effet des erreurs d'arrondis sur la méthode d'Euleur et optimisation du pas Estimation de l'erreur Contrôle du pas. [...]

[...] n Les méthodes de Runge-Kutta consistent à remplacer la tangente de la méthode d'Euler par un barycentre des tangentes sur [tn,tn+1]. Le schéma de la méthode est : y n = y n + h n q j=1 q a ijf ( t n , j , y n , j i = q b jf ( t n , j , y n , j ) y n = y n + h n j=1 t n = t n + ci h n , i = q c1 a a 1,q . [...]

[...] m 2 S'il existe L tel que : t , I 0 (ℜ ) , f ( t , f ( t , L y z alors le problème de Cauchy admet une solution et une seule. On discrétise le segment avec la subdivision : ( t n ) n = N m On cherche à construire par récurrence une suite de points yn approximant la solution exacte par le schéma : y n = y n + h n Φ ( t n , y n , h n n = N 1 Erreur de méthode : e n = t n ) y n . [...]