Analyse discriminante : modèle mathématique

Résumé du document

L'analyse discriminante est connue dans la pratique (par exemple dans le marketing) comme une des techniques de "scoring" permettant de déterminer la contribution des variables qui expliquent l'appartenance des individus à des groupes. Deux ou plusieurs groupes sont comparés, sur plusieurs variables pour déterminer s'ils différent et pour comprendre la nature de ces différences. Le document est divisé en cinq parties: modèle géométrique, coefficient de la fonction discriminante, interprétation de la fonction discriminante, exemples d'application et développement mathématique.

Extraits

[...] Le but de l'analyse discriminante est de trouver un nouvel axe, combinaison linéaire des variables, qui permet de réduire cette zone d'incertitude et de séparer au mieux les deux groupes. Imaginons maintenant, d'une manière plus générale, que ces variables soient centrées pour l'ensemble des deux groupes (c'est le changement de référentiel dans la figure 3). On illustre dans un espace à deux dimensions les coordonnées de chaque sujet sur les variables en question et on trace les lignes contours de (1,96 Ou a). Les hypothèses de normalité des variables conjointes et d'homogénéité des variances et covariances sont maintenues2. La figure 3 en est un exemple. [...]

[...] L'idée est que la seconde fonction discriminante peut travailler sur les erreurs de mauvaise classification de la première. Le modèle de la Centrale de bilans est utilisé par les banques actionnaires ou cotisantes pour identifier les emprunteurs qui sont susceptibles de se trouver en cessation de paiement. La définition des entreprises non performantes s'écarte de la norme habituelle, dans la mesure où elle inclut également les prêts risqués. Pour que les banques puissent l'utiliser, l'analyse discriminante est disponible sous forme de logiciel sur PC contre une redevance annuelle. [...]

[...] Cette valeur est donc une mesure de la capacité discriminante de Xa1, elle sera d'autant plus importante que λ1 approchera de 1. La combinaison linéaire Xa1 est la première fonction discriminante des données et a1 est le premier axe discriminant. La matrice Σ-1E ne peut avoir au maximum que k-1 valeurs propres non-nulles. Une fois obtenue la fonction discriminante, celle-ci peut être utilisée pour décrire les facteurs les plus importants dans la discrimination. Ceci permet une visualisation à plus basse dimensionalité des éléments de la discrimination. [...]

[...] On peut, en marketing, distinguer différents types d'utilisateurs d'un produit : ( utilisateurs permanents et occasionnels d'un produit. ( acheteurs d'une marque et les acheteurs de marques concurrentes. ( clients fidèles et infidèles. ( vendeurs bons, médiocres et mauvais. Un exemple donné par Churchill est celui d'un concours de vente où on a réussi à séparer trois groupes de vendeurs. Pour identifier quels sont les éléments (les variables) qui permettent de distinguer entre un bon et un mauvais vendeur, un questionnaire a été soumis aux participants de ce concours. [...]

[...] Pour l'exemple analysé les coefficients discriminants sont n1=0,059, n2 = 0,063, n3 = 0,034 et n4 = -0,032, et la combinaison linéaire qui différencie de manière maximale entre les groupes est Y = 0,059 X1 + 0,063 X2 + 0,034 X3 - 0,032 X4 Ayant les coefficients discriminants on peut calculer le score de chaque vendeur, si ce score est plus proche de la moyenne des scores du groupe des gagnants du grand prix, l'individu sera affecté a ce groupe si non il sera affecté à l'autre groupe. On peut observer que l'approche de l'analyse discriminante est proche de celui de la régression. [...]