L'algèbre dans les systèmes d'information, partie II : codes linéaires

Résumé du document

Cette série d'exposés raconte deux applications récentes de l'algèbre : les codes linéaires et cryptographie clé révélée. On y explique comment les polynômes, les matrices ou les espaces vectoriels sont utilisés quotidiennement pour effectuer des achats ou écouter de musique.
La première partie précisait les enjeux et introduit la notion de codes correcteurs d'erreurs.
La deuxième partie s'intéresse à la classe la plus importante des codes correcteurs : celle des codes linéaires.

Extraits

[...] i=1 j obtient un code Le code ; 1)g obtenu pour n = 3 a été dessiné ci-dessous. De distance minimale ce code corrige une erreur et les boules fermées de rayon 1 centrées sur les mots de code recouvrent F On dit que ce code est parfait La matrice de contrô H associée est H = 1 : : : le Code àré pé tition : Répétons n fois le symbole x On pour lequel j B . G = 1 1 et H = @ . [...]

[...] nition 2 Le poids de Hamming d'un mot x de Fn est, par dé nition, le nombre q de coordonnées non nulles de ce mot. On le note w = # fi 2 Nn = xi 0g : Comme d = w la distance minimale de C s'écrit d = Min fw = x 2 C L'application linéaire f : Fk ! Fn possè de une matrice que l'on notera t G dans les q q bases canoniques. Ici l'écriture t G désigne la transposée de la matrice G. [...]

[...] Corollaire 1 Les paramètres d'un code véri toujours l'inégalité k + d n + 1. ent Preuve : La matrice H est de rang n donc n k + 1 de ses colonnes seront toujours liées et le Théorè me 1 entraîne d n k + 1. Dé . nition 4 La majoration d n k + 1 est appelée borne de Singleton. Un code MDS (Maximum Distance Separable) est un code tel que d = n k + 1. [...]

[...] Cela s'écrit 1 8j 2 f0; d 2g a0 + a1 + a2 + + an¡1 ou encore H t a = 0 avec B B H @ 1 . 1 C C A 1 La matrice H est une matrice de contrô de C et l'on peut véri er que d 1 colonnes le quelconques de cette matrice sont linéairement indépendantes. En et le déterminant ir 1 r 1 r i2 1 . . 1 7 Il t d'appliquer le Théorè me 1 pour conclure. se calcule en utilisant le déterminant de i 1 D = 1 Vandermonde. On trouve 1 1 1 . . [...]

[...] i=1 xn Si x = (x1 ; xn ) représente un mot de code de poids et la relation une relation de dépendance d'exactement d colonnes de H. Il existera donc d colonnes de H linéairement dépendantes. D'autre part, si les s colonnes hi1 ; his de H sont linéairement s P xij hij = 0. En posant dépendantes, il existe une s-liste (xi1 ; xis ) telle que j=1 i=1 n P xi hi = 0 montre xi = 0 si i 2 fi1 ; is g et x = (x1 ; xn on constate que x 2 C et w s. [...]