L'algèbre dans les systèmes d'information, I

Résumé du document

Cette série d'exposés raconte deux applications récentes de l'algèbre : les codes linéaires et cryptographie clé révélée. On y explique comment les polynômes, les matrices ou les espaces vectoriels sont utilisés quotidiennement pour effectuer des achats ou écouter de la musique.
La première partie précise les enjeux et introduit la notion de codes correcteurs d'erreurs.

Extraits

[...] La Fig montre les trois grands risques qui concernent un systè me d'information et la place du codage et du cryptage dans ces risques. De faç on sommaire, on dira que le codage permet de proté un message contre une perte ger de donné dû à sa transmission, à la destruction partielle du support de l'information, ou e e à tout autre cause. Il doit permettre de retrouver des donné exactes à partir de donné es es erronné Le but du cryptage, quant à lui, est de transformer un message en une suite es. [...]

[...] Papini & J. Wolfmann, Algè bre Discrè te et Codes Correcteurs, Springer-Verlag, Mathé matiques & Applications n http://www.personaform.com/index.html.old pour le projet PersonaForm et http://www.avatarme.com pour la cré atrion d'avatars humains capables d'é voluer dans un monde virtuel. C. Pomerance, Recent Developments in primality testing, The Mathematical Intelligencer, vol no pp. 47- J. Querré Cours d'Algè bre, Maîtrise de Mathé , matiques, Masson http://www.rocket-library.com/ pour l'e-Book et http://www.cytale.com/index.htm pour le Cytale. J.P. [...]

[...] Il est modi épour fournir le mot f = c 2 Q lu par un sytè me quelconque pour donner un message reç u x = (x1 ; xn ) qui contient é ventuellement quelques erreurs. Notons C = f l'image de f. Comme f est injective, f ré alise une bijection de E sur C et C peut être considé récomme l'ensemble de tous les messages possibles. C est appelé code de longueur et les é ments de C s'appellent les mots du code. Le cardinal lé du code est par dé nition celui de C . [...]

[...] - Dè s le collè ge on utilise des rudiments d'algè bre pour calculer des distances dans des problè mes de gé trie, et pour ré omé soudre des é quations du premier degré La ré . ponse à des problè mes pratiques donné par le choix des inconnues, la mise en é e quation et la ré solution de ces é quations, repré sente une application remarquable de l'algè bre pendant toutes les é tudes du secondaire. [pcod0013a] v 1.00 Ã ~[ccod0013] v 1.03 part.1 c 2002, D.-J. [...]

[...] En si est vé é on peut toujours trouver deux mots et, ri de code c et c0 situé à la distance d l'un de l'autre, et les noter c = (c1 ; cn ) et s c0 = (c0 ; c0 ; cd+1 ; cn ) quitte à permuter les coordonné Il existe deux entiers naes d turels p et q infé rieurs ou é gaux à t tels que d = p + q et le mot x = c0 ; c0 ; cp+1 ; cp+q ; cd+1 ; cn 1 p c x c x d=3 et e=1 d=4 et e=1 Exemple 1 : Dans F le code C formédes 3 points ci-dessous est de distance minimal Les boules fermé de rayon 1 centré sur les mots du code sont repré es es senté en couleur. es Ce code dé tecte une erreur sans pouvoir la corriger y x Exemple 2 : Dans F la droite vectorielle 5x 3y = 0 dé termine un code liné aire C Sa distance minimale est encore 2. Il est facile de savoir si un mot appartient ou non à C et d'exhiber l'encodage f : F13 ! F t ! 5t) : y x References L. Adleman, R.L. Rivest & A. [...]