Algèbre linéaire : les déterminants

Résumé du document

Ce document est un cours d'algèbre linéaire sur les déterminants complété par une série d'exercices corrigés (une vingtaine) sur ce sujet.
Les déterminants sont un outil extrêmement riche mais dont la définition est un peu délicate à mettre en place. En effet si sur le plan théorique on ne fait que reprendre et améliorer d'une certaine manière les idées de la méthode de Gauss, sur le plan pratique on est confronté à des problèmes de notations quelquefois assez lourdes à gérer.
Par contre le champ d'application des déterminants dépassera très vite l'objectif premier, on les mettra à profit pour l'inversion des matrices, la résolution des systèmes linéaires, la théorie de la diagonalisation, dans les situations de la géométrie Euclidienne généralisée (orientation de l'espace, classification des isométries).

Extraits

[...] Bi est la base de Ei obtenue en supprimant ei de B , les autres vecteurs de B restant dans l'ordre initial. qi est la projection vectorielle sur Ei parallèlement à la droite engendrée par ei. _ Pour chaque couple d'indices distincts de { : est la somme vectorielle des droites engendrées par les vecteurs de Bi distincts de ej B est la base de obtenue en éliminant le vecteur ej de la base Bi , les autres vecteurs de Bi restant dans l'ordre initial. [...]

[...] _ B formé des termes tels que n et n (n+p. _ T ( formé des termes tels que n et j (n. _ S formé des termes tels que i et n (n+p. On peut écrire en abrégé Théorème. Si l'un des deux blocs rectangulaires T ou S de la décomposition précédente est nul, alors le déterminant de la matrice composée M est égal au produit des déterminants de ses deux blocs carrés A et B. ( det(M)=det(A).det(B) Ici encore, grâce au résultat sur la transposition il suffit de traiter le cas où T est nul. [...]

[...] Les notations sont celles de l'exercice précédent. On note une matrice carrée d'ordre n dont les coefficients sont des fonctions composantes négligeables devant h en 0. Montrer que pour toute matrice carrée A d'ordre n à coefficients indépendants de on a au voisinage de 0 : det(A+O(h))=det(A)+o(h) En déduire, toujours au voisinage de 0 : det(In+h.A+O(h))=1+trace(A).h+o(h) Si toutes les fonctions composantes de la matrice sont dérivables et si est inversible quelque soit x de l'intervalle déduire de ce qui précède la formule de dérivation : 16. [...]

[...] La première colonne voit alors tous ses termes nuls sauf le dernier égal à 1. En développant suivant cette colonne on obtient donc Dn+1=(-1)n+2det(An) avec An carrée d'ordre n dont le terme générique est (xn+1)j. En utilisant la linéarité suivant chaque ligne on peut alors ‘sortir' du déterminant de An chacune des différences xn+1-xi . Ceci conduit à , avec pour coefficient générique de Bn : Effectuons alors la séquence de remplacement : , pour j variant en décroissant de n à 2. [...]

[...] S sera alors libre si et seulement si la quantité xy'-x'y est non nulle. Si x est nul et x' différent de un raisonnement symétrique en échangeant les deux vecteurs donne : S libre ( x'y-xy' (xy'-x'y Enfin si x')=(0, , les deux vecteurs de S sont multiples du même vecteur e2 et constituent donc un système lié. Remarquons que dans ce cas xy'-x'y=0. On définira donc naturellement ici le déterminant de S dans la base B comme l'élément de K noté et représenté par : detB (S)=xy'-x'y= Ce qui précède établit l'équivalence entre la dépendance linéaire de S et l'annulation de son déterminant. [...]