Comment les calculatrices donnent-elles la valeur approchée d'une intégrale ? - Grand oral

Thèmes abordés

Mathématiques, oral de mathématiques, calculatrice, valeur approchée, intégrale, fonction, somme de Riemann, méthode Monte-Carlo, programme Python, Nicholas Metropolis, Python

Résumé du document

Lors du cours de mathématiques consacré au calcul intégral, nous avons appris à calculer une intégrale à l'aide d'une primitive. Notre professeur nous a également montré comment vérifier nos résultats grâce à la calculatrice. J'ai tout d'abord pensé que l'algorithme implémenté dans les calculatrices utilisait des primitives. Je me suis alors souvenu(e) d'une remarque de mon professeur : il existe des fonctions continues dont la primitive ne peut pas s'écrire à l'aide de fonctions usuelles. J'ai donc calculé l'intégrale de cette fonction entre deux nombres, et la calculatrice a affiché un résultat. Elle donne donc la valeur approchée d'une intégrale sans utiliser une primitive. Ma problématique est donc la suivante : comment les calculatrices donnent-elles la valeur approchée d'une intégrale ?

Extraits

[...] Plus n sera grand, plus la fréquence de points situés sous la courbe sera proche de l'intégrale de f sur ; c'est-à-dire PI/4 En implémentant le programme Python correspondant à cette méthode, j'ai trouvé environ 0,785 pour n = Ainsi, PI/4 est environ égal à 0.785. On retrouve bien que PI est environ égal à 3.14 en multipliant par 4. On peut ici souligner le fait que les méthodes vues précédemment permettent non seulement d'approcher une aire, mais aussi des nombres comme PI. Conclusion En conclusion, je vous ai présenté deux méthodes, d'approche différente, permettant de calculer la valeur approchée d'une intégrale. Il en existe davantage, plus ou moins performantes. Les calculatrices utilisent l'une de celles-ci pour nous donner la valeur approchée d'une intégrale. [...]

[...] Comment les calculatrices donnent-elles la valeur approchée d'une intégrale ? - Grand oral Introduction Lors du cours de mathématiques consacré au calcul intégral, nous avons appris à calculer une intégrale à l'aide d'une primitive. Notre professeur nous a également montré comment vérifier nos résultats grâce à la calculatrice. J'ai tout d'abord pensé que l'algorithme implémenté dans les calculatrices utilisait des primitives. Je me suis alors souvenu(e) d'une remarque de mon professeur : il existe des fonctions continues dont la primitive ne peut pas s'écrire à l'aide de fonctions usuelles, par exemple « xe ». [...]

[...] Cependant, plus « n » est grand, plus la base des rectangles est petite. Ainsi, les zones à combler ou à retirer sont m et l'approximation est meilleure. On peut écrire que : So f(x)dx = b-a/n Σ (en haut en bas f pour n très grand. Deuxième méthode : Monte-Carlo La méthode Monte-Carlo consiste à évaluer l'aire d'une surface de manière probabiliste. Elle a été imaginée par le physicien Nicholas Metropolis. Le principe est de prendre un point au hasard dans une zone du plan contenant la surface. [...]

[...] Bonus : Les questions qui m'ont été posé par le jury : Pourriez-vous expliquer comment calculer la valeur d'une intégrale à raide d'une primitive ? Pourriez-vous préciser vers quel nombre tend cette base lorsque n tend vers +infinity ? Pourriez-vous expliquer comment vous avez obtenu pour n = la valeur approchée 0,785 par la méthode Monte-Carlo ? Quelle méthode est la plus efficace ? Pourquoi Nicholas Metropolis a-t-il appelé cette méthode Monte-Carlo ? Avez-vous finalement trouvé la méthode utilisée par votre calculatrice ? [...]