Etude des vibrations élastiques d'une pale éolienne hors amortissement aérodynamique (projet d'analyse numérique sous Ma

Résumé du document

Projet d'analyse numérique (de l'énoncé à la résolution mathématique et numérique) ayant pour sujet l'étude des vibrations élastiques d'une pale d'éolienne hors amortissement aérodynamique. Le projet consiste à trouver et programmer une solution numérique d'un problème physique, la solution numérique étant tracée et devant se rapprocher le plus possible de la solution physique.

Extraits

[...] Pour discrétiser le problème il est nécessaire de définir les maillages en espace et en temps. On définit pour cela : y j = y j + t n = t n+1 + Pour j = j max Pour n = n max Avec la notation suivante pour la solution discrète : u n = u n , y j ) ) j À chaque nouveau pas d'intégration h , séparant les instants n et n + la méthode consiste à calculer, successivement pour k = 1 puis k = 2 (où k est l'indice des composantes du vecteur des inconnues) les huit quantités suivantes : a1n = h.Fk n , u n , v n ) j j b1n = h.Fk n , u n + j n a1n n a2 ,vj + ) n a2 = h.Fk n , u n , v n ) j j n a1n n a2 ,vj + ) n b1n n b2 ,vj + ) n b2 = h.Fk n , u n + j c1n = h.Fk n , u n + j n b1n n b2 ,vj + ) n c2 = h.Fk n , u n + j n d1n = h.Fk n , u n + c1n , v n + c2 ) j j n d 2n = h.Fk n , u n + c1n , v n + c2 ) j j F1 et F2 représentent les composantes du vecteur second membre et u et v sont les n . [...]

[...] III. IV. V. [...]

[...] Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 Nous permet de calculer les valeurs de la fonction à l'instant t + connaissant toutes les valeurs spatiales de la fonction à l'instant t Boucle générale en temps: on va calculer les valeurs de la fonction à t + Pour n allant de 1 à nmax-1 Faire Calcul du coefficient a1 pour chaque valeur spatiale Pour j allant de 2 à jmax Faire Fin Calcul du coefficient a2 pour chaque valeur spatiale Pour j allant de 2 à jmax Faire Fin Nécessite le calcul de la dérivée 4ème au point Calcul du coefficient b1 pour chaque valeur spatiale Pour j allant de 2 à jmax Faire + Fin ] //Passage au demi-pas supérieur : Calcul du coefficient b2 pour chaque valeur spatiale Pour j allant de 2 à jmax Faire Fin + ] //Passage au demi-pas supérieur : Calcul du coefficient c1 pour chaque valeur spatiale à Pour j allant de 2 à jmax Faire + Fin ] Calcul du coefficient c2 pour chaque valeur spatiale à Pour j allant de 2 à jmax Faire Page 11 sur 30 Fin + ] Calcul du coefficient d1 pour chaque valeur spatiale à Pour j allant de 2 à jmax Faire + Fin Calcul du coefficient d2 pour chaque valeur spatiale à Pour j allant de 2 à jmax Faire Fin + Calcul des valeurs de et Pour j allant de 2 à jmax Faire = + + + + = + + + + Fin Fin Fin de la boucle générale en temps IV. Algorithme simplifié de la méthode de la discrétisation de la dérivée d'ordre 4 de u. [...]

[...] La solution analytique de l'équation de flexion de la pâle est définie par : t ) = Ak .cos( µ k2t ).β k ( y ) k Les différentes valeurs numérique obtenues pour µ µ µ µ4 sont : µ1 = 1.8751 µ2 = 4.6940 µ3 = 7.8547 µ4 = 10.9955 On remarque que c'est pour le premier mode de vibration que µ prend sa valeur minimale (on extrapole les résultats pour k > et donc que la valeur de cos( est maximale. C'est donc le premier mode de vibration qui aura le plus d'influence sur la valeur de la vitesse et du déplacement lorsque l'on sommera les effets des différents modes. Cela vient étayer les observations faites à partir des graphes obtenus par programmation de la solution exacte. [...]

[...] for n = 1:nmax- Boucle générale en temps: on va calculer les valeurs de la fonction à t + deltat % Calcul du coefficient a1 for j = 2:jmax v = tv(n,j) ; a1(j) = deltat*eval(f1); end % Calcul du coefficient a2 for j = 2:jmax % Calcul de la dérivée 4ème au point = discretisation_derivee_ordre4(n,j,jmax,deltay,tu,a1,0); a2(j) = deltat*eval(f2); end % Calcul du coefficient b1 for j = 2:jmax % Passage au demi-pas supérieur: t=t+0,5*deltat v = a2(j)/2 ; b1(j) = deltat*eval(f1); end % Calcul du coefficient b2 for j = 2:jmax % Calcul de la dérivée 4ème au point avec passage au demi-pas supérieur: t=t+0,5*deltat Page 15 sur 30 = discretisation_derivee_ordre4(n,j,jmax,deltay,tu,a b2(j) = deltat*eval(f2); end % Calcul du coefficient c1 (t=t+0,5*deltat) for j = 2:jmax v = b2(j)/2 ; c1(j) = deltat*eval(f1); end % Calcul du coefficient c2 (t=t+0,5*deltat) for j = 2:jmax % Calcul de la dérivée 4ème au point = discretisation_derivee_ordre4(n,j,jmax,deltay,tu,b c2(j) = deltat*eval(f2); end % Calcul du coefficient d1 for j = 2:jmax % Passage au demi-pas supérieur: t=t+1 v = c2(j) ; d1(j) = deltat*eval(f1); end % Calcul du coefficient d2 for j = 2:jmax % Calcul de la dérivée 4ème au point avec passage au demipas supérieur: t=t+1 = discretisation_derivee_ordre4(n,j,jmax,deltay,tu,c1,1); d2(j) = deltat*eval(f2); end % Calcul des valeurs de et for j = 2:jmax tu(n+1,j) = tu(n,j) + + 2*b1(j) + 2*c1(j) + tv(n+1,j) = tv(n,j) + + 2*b2(j) + 2*c2(j) + end a1=0; a2=0; b1=0; b2=0; c1=0; c2=0; d1=0; d2=0; % Remise à 0 des différents coefficients end % Récupération des valeurs à retourner y = ty; t = tt; u = tu; v = tv; % FICHIER DE FONCTION "discretisation_derivee_ordre4.m" function = discretisation_derivee_ordre4(n,j,jmax,deltay,tu,A,coef) % Remarque: % Page 16 sur vecteur ligne de j valeurs permet de récupérer les valeurs des % coefficient d selon les cas coeff : permet d'appliquer le passage au demi-pas suivant pour les % valeurs de u si nécessaire if Pour j égale Schéma partiellement décentré sur 4 points dv = A(2)*coef) A(3)*coef) A(4)*coef) + A(5)*coef))/(6*(deltay elseif j==jmax- Pour j égale jmax- Schéma partiellement décentré sur 4 points dv= A(jmax)*coef) +5*(tu(n,jmax-1)+ A(jmax-1)*coef) -4*(tu(n,jmax2)+ A(jmax-2)*coef) +(tu(n,jmax-3)+ A(jmax-3)*coef))/((11/12)*(deltay elseif j==jmax % Pour j égale jmax % Schéma décentré sur 3 points dv = ((tu(n,jmax)+ A(jmax)*coef) -2*(tu(n,jmax-1) +A(jmax-1)*coef) + (tu(n,jmax-2)+ A(jmax-2)*coef))/((7/12)*(deltay else % Pour j compris entre 3 et jmax- Schéma centré sur 5 points dv = A(j-2)*coef) A(j-1)*coef) A(j)*coef) A(j+1)*coef) + A(j+2)*coef))/(deltay end Page 17 sur 30 RESULTATS DE LA SOLUTION EXACTE Voici les graphes intéressants obtenus par la programmation de la solution exacte : Figure 5 Figure 7 Page 18 sur 30 Influence du 1er mode de vibration : Pour les solutions numériques obtenues à l'aide de la solution exacte, on remarque que le 1er mode de vibration joue un rôle d'enveloppe Il détermine l'allure générale de la vitesse (figure pour la somme des effets des autres modes de vibrations de la pâle. De manière analogue, il joue le même rôle pour l'allure des variations du déplacement (figure lorsqu'on lui somme les autres modes de vibrations. [...]