Les variables aléatoires en probabilités

Thèmes abordés

Probabilités, variable aléatoire, théorie des probabilités, espace probabilisé, fonction de répartition, nombre réel, loi de probabilité, écart-type, espérance mathématique, VAD Variable Aléatoire Discrète

Résumé du document

Ce cours sous forme de présentation PowerPoint est centré sur les variables aléatoires en mathématiques.

Généralement, l'espace fondamental associé à une expérience aléatoire est un ensemble « abstrait », sur lequel on ne peut pas effectuer des opérations et faire des comparaisons.
D'où il est intéressant de pouvoir passer d'un espace fondamental quelconque à l'ensemble R des nombres réels. Ce passage est assuré par les variables aléatoires.

Extraits

[...] Ce passage est assuré par les variables aléatoires. Définition 1 : Soit un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire sur  toute application X de  dans R. R toutes les réalisations possibles de X. On dit qu'une variable aléatoire X est discrète (v.a.d.) si DX est fini ou infini dénombrable. On dit qu'une variable aléatoire X est continue (v.a.c.) si DX est infini non dénombrable ou un intervalle de R). Remarque : Sur un même espace fondamental on peut définir plusieurs variables aléatoires selon les objectifs de l'expérience aléatoire. [...]

[...] de loi de probabilité,{(xi, pi) : xDx}, alors la variance de X que l'on note est le nombre réel positif donné par : 2 xi D x • L'écart-type de X est noté x (ou ) donné par : Propriétés On peut montrer que s'écrit comme : i x Si a et b sont 2 nombres réels, alors on a : et Exemple On calcule l'espérance et l'écart type de la v.a.d. X() = Sup (l'exemple précédent) xi  D x 4.Variable aléatoire centrée et réduite Une v.a. X est dite centrée si = 0 et elle est réduite si =1(ou x = 1). Pour toute v.a. X d'espérance 0 et d'écart type x 0 on définit la v.a. [...]

[...] En particulier, pour xDX II) Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité d'une v.a.d. Soient une un espace probabilisé et X v.a.d. sur . La loi de probabilité de X est définie comme une application de DX dans par : PX : DX x On peut présenter la loi de probabilité d'une v.a.d. X comme un ensemble de couples, pi) : xi Dx où pi = P(xi) et tels que : pi x i D x Si Dx est fini (card Dx = on peut présenter la loi de probabilité de X par un tableau : xi  Dx x1 x2 xi xn Pi = P(xi) P1 P2 Pi Pn Exemple On lance deux fois un dé équilibré. [...]

[...] On appelle fonction de répartition de X l'application, Fx (ou de R dans définie par : F x : R x xi  D x xi  x La fonction de répartition F v.a. X vérifie les propriétés suivantes :  Par définition on a xR. d'une lim F ( x )  0 lim F ( x )  1  F est croissante, F(y). c.à.d., si x y  pour tous réels a et b de R on : alors Exemple : On détermine la fonction de répartition de la v.a.d. X()=Sup(i,j) (l'exemple précédent) et on trace sa représentation graphique.  x  on a : 3.Caractéristiques d'une v.a.d. a. [...]