Les variables aléatoires : généralités et cas discret

Thèmes abordés

Variables aléatoires, loi de probabilité, variable, variance, écart-type

Résumé du document

La variance (ou l'écart-type) calcule l'écart des notes par rapport à la moyenne.
L'interprétation de la variance est la suivante :
- Plus la variance est grande, plus X est éloigné de sa moyenne, et donc moins son comportement est homogène et donc moins l'espérance de X traduit fidèlement le comportement général de X.
- À l'inverse, plus la variance est petite, plus l'espérance traduit fidèlement le comportement général de X.
- Le cas extrême est lorsque X est une constante ; alors V(X) = 0.

Extraits

[...] Exemple : Considérons le jeu suivant ; on lance un dé, et si un multiple de 3 sort, on gagne 2 5 sort, on gagne 1 on ne gagne rien sinon On suppose que la mise de départ est de 1 (non remboursée) ℰ = "lancer d'un dé" = { muni de IP la probabilité uniforme 1 ω , IP(ω) = 6 Le joueur ne s'intéresse pas au résultat ω de ℰ mais à la somme associée à ω = 0 1 = 1 = 1 = 1 1 = 0 = 1 = 2 1 = 1 = 1 I Généralités : variable aléatoire et loi de probabilité Variable aléatoire réelle Étant donnée ℰ une expérience aléatoire modélisée par ( on appelle variable aléatoire réelle toute fonction de dans IR. Cette variable sera notée T ou S. X : IR ω X(ω) X étant une fonction, elle possède un ensemble d'arrivée noté ) qui est donc l'image par X de . ) = ω } ) est appelé support de la loi de X. [...]

[...] Si ) est fini ; ) = xp} ; alors la dernière ligne de la définition de FX est si b Si ) est discret mais infini ; par exemple, ) = IN ; alors la définition de FX ne s'arrête pas. Exemple : Calculons la fonction de répartition associée à X b IR, FX(b) = IP(X = ; = ; = ; ; Si b [...]

[...] L'étudiant 1 est régulier, donc sa moyenne traduit fidèlement son comportement général. L'étudiant 2 est irrégulier, a la même moyenne, mais n'a jamais eu aucune note s'approchant de sa moyenne. Dans ce cas, la moyenne n'est absolument pas représentative du comportement général de l'étudiant. La moyenne sans autre indication peut donc être un mauvais indicateur de comportement. Pour remédier à cela, on introduit la notion d'écart-type, qui mesure l'homogénéité (des données) du comportement par rapport à la moyenne. [...]

[...] On appelle variance de X la quantité, notée donnée par : = On appelle écart-type de X la quantité, notée donnée par : σ(X) = On a : = IP(X = x ) 2 i i Démonstration : = ) IP(X = x ) i i Soit = = = = = (xi IP(X = xi) CQFD Propriétés = E(X2) 0 V(a X + = a2 b IR L'interprétation de la variance est la suivante : Plus la variance est grande, plus X est éloigné de sa moyenne, et donc moins son comportement est homogène et donc moins l'espérance de X traduit fidèlement le comportement général de X. À l'inverse, plus la variance est petite, plus l'espérance traduit fidèlement le comportement général de X. [...]

[...] On appelle fonction de répartition de notée FX, la fonction : FX : I ; R P P b FX(b) = I = I ; Si X est une variable aléatoire réelle discrète de loi IPX donnée par : ) = {xi , i IPX(xi) = IP(X = i I Alors ) + IP ) F = . ) + . + IP ) I X(x1) = I = x1) P P X 1 X 2 X X 1 X k si b [...]