Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini, Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, lois de probabilités usuelles, loi binomiale, théorème de transfert, théorème de Cauchy-Schwarz

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques concernant les variables aléatoires sur un espace probabilisé fini, et utilise pour illustrer son propos diverses formules mathématiques, propriétés, définitions et théorèmes. Sont étudiés les variables aléatoires et leurs lois, les lois de probabilités usuelles, les couples de variables aléatoires, ainsi que l'indépendance des variables aléatoires. Parmi les théorèmes et lois cités, on a les théorèmes de transfert et de Cauchy-Schwarz, la loi de Bernoulli et la loi binomiale, ou encore la formule de Huygens et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Extraits

[...] La variable aléatoire qui vaut si est réalisé sinon, suit une loi de Bernoulli de paramètre . Remarque : Si est un ensemble la fonction est appelée l'indicatrice de . Définition : Soit . On dit que suit une loi binomiale de paramètres et , ce qu'on note si : . Cohérence de la définition (Newton) : . Espérance : . III. Couples de variables aléatoires Définition : Soit deux variables aléatoires sur . Sa loi est la loi conjointe de et . [...]

[...] Théorème : Soit une variable aléatoire (formule de Huygens). . . Définition : Soit deux variables. La covariance de et est : . Remarque : . Théorème : Soit et deux variables. . . Plus généralement : . Si et sont indépendantes, alors . Variance d'une loi de Bernoulli : Soit Variance d'une loi binomiale : Soit Propriété : Soit un espace probabilisé et l'ensemble des variables aléatoires sur . L'application ; est symétrique, bilinéaire, positive et définie. Autrement dit, est un produit scalaire sur . [...]

[...] Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini I. Variables aléatoires, lois Définition : Soit un espace probabilisé fini. Une variable aléatoire sur est une fonction . Si , la variable aléatoire est dite réelle. Si . On note en général ou . Si , on note ou . Si et on note ou . Remarque : Dorénavant, toutes les variables aléatoires son réelles. Définition : Soit une variable aléatoire. La loi de la variable est : C'est une probabilité donnée par les . [...]

[...] Définition : Soit des variables aléatoires. On dit que sont mutuellement indépendantes si : , et et . Attention : mutuellement indépendants à indépendants réciproque fausse. Théorème : Soit et deux variables indépendantes tel que : et . Alors . Corollaire : Si sont mutuellement indépendantes tel que : . Alors . Théorème (transfert) : Soit des variables aléatoires, et . Alors : si sont mutuellement indépendants alors et . Théorème : Soit et indépendantes, alors . V. Variance, écart-type, covariance Définition : Soit une variable aléatoire. [...]