Variables aléatoires

Résumé du document

Soit (Ω,F, P) un espace probabilisé avec :
- Ω = espace des résultats possibles
- F = ensemble des événements (tribu). F = P(Ω) en général quand Ω est discret (= fini ou dénombrable).
- P = probabilité définie sur (Ω,F)
Définition 1 Soit (Ω,F, P) un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire (v.a.) réelle toute application :
X : Ω → R
ω → X(ω)

Extraits

[...] discrètes indépendantes. Alors : P(Y : P Y = P P 3. Soient A et B deux événements. A et B indépendants 1A et 1B sont indépendantes. De même, soient A An n événements : A An mutuellement indépendants 1A 1An sont mutuellement indépendantes. Théorème 1 Soient X et Y deux v.a. indépendantes et f et g deux fonctions de R dans R. Alors f et g(Y ) sont indépendantes. Exemple : On dispose d'une urne contenant 2 boules blanches et 2 boules noires. [...]

[...] réelles. On dit que X et Y sont indépendantes si : R2 : P Y = P P R2 : FX,Y = FX FY Si X et Y sont discrètes, alors X et Y sont indépendantes si : X(Ω) Y (Ω) : P = Y = = P = P = Définition 8 Soient X Xn n variables aléatoires réelles. On dit que X Xn sont (mutuellement) indépendantes si : xn ) Rn : P (X1 x Xn xn ) = P (X1 x1 ) P (Xn xn ) Si X Xn sont discrètes, alors X Xn sont (mutuellement) indépendantes si : xn ) X1 (Ω) Xn (Ω) : P (X1 = x Xn = xn ) = P (X1 = x1 ) P (Xn = xn ) Définition 9 On dit que n v.a. [...]

[...] On dit que X est d'espérance finie si xi P = xi ) [...]

[...] Exemple : Soit X une v.a. de moyenne (espérance) 100 et de variance 16. [...]

[...] Rappels et notations : Soit I un intervalle de R. X = Image réciproque de I = {antécédents de = {ω/X(ω) L'événement X sera noté De même : X sera noté [...]