La variable continue

Thèmes abordés

Variable continue, espérance, variance, écart-type, cas discret, cas continu

Résumé du document

L'interprétation de la variance (et de l'écart-type) est la suivante :
- Plus la variance est grande, plus X est éloigné de sa moyenne, et donc moins son comportement est homogène et donc moins l'espérance de X traduit fidèlement le comportement général de X.
- A l'inverse, plus la variance est petite, plus l'espérance traduit fidèlement le comportement général de X.
- Le cas extrême est lorsque X est une constante ; alors V(X) = 0.

Extraits

[...] si t ; Exemple : ƒ(t) = sinon ƒ est-elle une densité ? t ; ƒ(t) = 0 0 t ; ƒ(t) = 2t 0 car t 0 Donc, t IR, ƒ(t) 0 dt = dt + dt + dt 1 = dt + dt + dt 0 1 = 0 + t t = 0 + 0 = 1 NB : t = a = t=b t=1 Fonction de répartition d'une variable continue On appelle fonction de répartition de une variable aléatoire réelle continue de densité ƒ, la fonction, notée FX, telle que : b FX(b) = IP(X = dt si t ; Exemple : ƒ(t) = sinon b b Si b dt = dt = 0 Chapitre 4 Variable continue 31 b 0 b Si b ; dt = dt + dt 0 b = FX(0) + dt = b 0 Si b dt = dt + dt + dt 1 = dt + dt 1 = FX(1) + 0 = 1 Propriétés lim FX(b) = 0 et lim FX(b) = 1 b b FX est croissante sur IR b IR, IP(a [...]

[...] Lors du contrôle, il faut faire et puis écrire en b = 0 et b = 1. FX risque de ne pas être dérivable, et on pose (par abus) ƒX(0) = ƒX(1) = 0. si b = 0 Conclusion : ƒ = si b ; si b = 1 si b > si b [...]

[...] En réalité, F n'est pas dérivable sur tout IR et donc on passe de FX à X ƒX en posant : Si X est une variable continue de fonction de répartition FX, alors sa densité ƒX est donnée par : si FX est dérivable en t ' ƒX(t) = si F n'est pas dérivable en t X Normalement, on devrait dire qu'en ce point, ƒX n'existe pas, mais bon si b 0 Exemple : Soit X la variable continue de fonction de répartition FX = si b ; si b 1 Trouvons ƒX Probabilités et Statistique b ; FX(b) = 0 est dérivable car constante, et b ; FX = 0 '(b) b ; FX(b) = b2 est dérivable, et b ; F'(b) = 2b X '(b) b ; + FX(b) = 1 est dérivable car constante, et b ; + FX = 0 Pour b = FX est-elle dérivable ? FX(0 + FX(0) + 0 = lim = lim h = 0 h h + h lim + FX(0 FX(0) = lim lim '(0) Donc, FX est dérivable en b = 0 ; et FX = 0. Pour b = FX est-elle dérivable ? [...]

[...] Chapitre 4 : Variable continue On parle de variable continue lorsque X prend des valeurs sur des ensembles qui ne sont pas discret, par exemple ; IR+. X discret IP(X = i I ; avec loi = x ) = 1 i Supposons que ) = ; et IP(X = > 0 x ; b[. On aurait : = = + x ; Ce qui est faux dans ce schéma, c'est : IP(X = > 0. x ; IP(X = = 0 C'est aussi à cela que l'on reconnaît une variable continue ; elle ne change pas les points. [...]

[...] Dans le cas continu, comme FX est continue sur IR, il faut faire autrement. On sait que, dans le cas continu, donner la loi IPX d'une variable, c'est donner sa densité ƒX car IPX(IE) = dt. IE Comment passer de FX à ƒX ? En fait, ƒX (la densité) est la dérivée de FX (la fonction de répartition). [...]