Théorème des valeurs intermédiaires

Résumé du document

Imaginons la situation suivante : Si un inspecteur de police sait qu'un suspect se trouvait en Suisse à 14 heures et dans un autre pays à 16 heures, il en déduit qu'il existe au moins une heure précise entre 14h et 16h à laquelle le suspect a traversé la frontière suisse (le suspect peut traverser plusieurs fois de suite la frontière). On considère que le suspect ne peut pas se téléporter (hypothèse de continuité). Le théorème des valeurs intermédiaires est la traduction mathématique de cette situation (...)

Extraits

[...] alors il faut utiliser de manière quasi systématique le théorème des valeurs intermédiaires. THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Niveau terminale Exercice Enoncé Soit f une fonction définie et continue sur ; 10] dont le tableau de variations est le suivant : x - 0 Dénombrez le nombre de solutions pour chacune des équations suivantes pour tout x = 1 = 5 Solution f est une fonction définie, continue et strictement croissante sur ; à valeurs dans ; et 1 ; 3]. [...]

[...] Le théorème des valeurs intermédiaires est la traduction mathématique de cette situation. Enoncé Soit f une fonction de dans , continue sur un intervalle I. Alors pour tout réel a et b de pour tout réel k compris entre et il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que = k. y k 0 a c b x Corollaire Soit f une fonction de dans , continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors pour tout réel a et b de pour tout réel k compris entre et il existe un unique réel c compris entre a et b tel que = k. [...]

[...] D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il n'existe aucune solution à l'équation = sur 3]. THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Niveau terminale Enfin, f est définie, continue et strictement décroissante sur à valeurs dans et ; D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il n'existe aucune solution à l'équation = sur 10]. Par conséquent, on peut affirmer que l'équation = n'admet aucune solution sur l'intervalle ; 10]. f est une fonction définie, continue et strictement croissante sur ; à valeurs dans ; et ; 3]. [...]

[...] De même, f est définie, continue et strictement décroissante sur ; à valeurs dans et ; 3]. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il n'existe aucune solution à l'équation = 5 sur 3]. Enfin, f est définie, continue et strictement décroissante sur à valeurs dans et 5 ; D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel 𝛼1 ; 10] tel que f(𝛼1) = 5 Par conséquent, on peut affirmer que l'équation = 5 admet 1 unique solution sur l'intervalle ; 10]. [...]