Traitement Avancé du Signal : processus stochastiques

Résumé du document

Fiches de cours de Mathématiques niveau Licence sur les méthodes d'analyse des processus stochastiques.

Extraits

[...] Le processus est donc ergodique. Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 5 : Processus stochastiques 38 Caractérisation des processus aléatoires Processus orthogonaux Caractérisation des processus aléatoires Processus non-corrélés Définition : (processus orthogonaux) Deux processus sont orthogonaux quand leur fonction de corrélation croisée est nulle : RXY t2 ) = X (t1 * (t2 = Définition : (processus non-corrélés) Deux processus sont non-corrélés quand leur fonction de variance croisée est nulle : C XY ( t t2 ) = E X ( t1 ) u x ( t1 ) ( t2 ) u y ( t2 ) { * } = , Remarque : Notons que non-corrélation n'implique pas, en général, orthogonalité. [...]

[...] On peut démontrer que : C XY ( t t2 ) = RXY ( t t2 ) µ X ( t1 ) µY ( t2 ) On peut donc avoir une corrélation nulle sans que les processus soient orthogonaux. Cependant, pour des processus de moyenne zéro, les deux conditions sont, évidemment, équivalentes. [...]

[...] Montrer qu'il est stationnaire au sens strict. Solution Par définition, un processus est gaussien si pour tout t , t t n les variables aléatoires X 1 = X (t1 X 2 = X (t2 X n = X (tn ) sont conjointement gaussiennes et sa fonction caractéristique est : La stationnarité au sens large n'avance rien sur la densité de probabilité conjointe La stationnarité au sens strict implique la stationnarité au sens large La stationnarité au sens large n'implique pas la stationnarité au sens strict sauf pour les processus gaussiens Propriétés (fonction d'autocorrélation d'un processus S.S.L) Rx ( 0 ) = x ) Rx (τ ) = Rx ( ) Rx ( 0 ) Rx (τ ) Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 2 φ (ω ω 2 ω n ) = e X j µ ( tk )ωk C k l n n XX ( ti , tk )ωiω k / 2 avec C XX t 2 ) = RXX t 2 ) µ X (t1 ) µ * 2 ) X Chapitre 5 : Processus stochastiques 27 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 5 : Processus stochastiques 28 Caractérisation des processus aléatoires Processus stationnaires Caractérisation des processus aléatoires Processus stationnaires Solution Définition : (processus conjointement stationnaires au sens large) Deux processus et sont conjointement stationnaires au sens large si : i. [...]

[...] La famille des fonctions X ,ξ ) forme un processus aléatoire ou stochastique Le temps et/ou l'univers de ξ peuvent être discret X ξ ) X ξ n ) X ξ k ) X ξ 2 ) X ξ1 ) 0 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 * t2 t Chapitre 5 : Processus stochastiques 5 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 5 : Processus stochastiques 6 Définition et caractérisation Définition et caractérisation Pour une réalisation fixe ξi , la fonction X , ξi ) est une simple fonction du temps Pour une réalisation fixe ξi , la fonction qui a qui associe à la valeur X , ξi ) , s'appelle une trajectoire du processus Exemple : processus de comptage {Nt ; t N0 = 0 Pour tout t on a Ns Nt Nombre d'accès de clients à un serveur durant une période Nombre de particules détectées par un capteur Nombre de buts marqués lors d'un match de football C'est processus qui peut caractériser le Les trajectoires constituent généralement les observations concrètes que l'on peut faire d'un processus. [...]

[...] Chapitre 5 : Processus stochastiques 40 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 5 : Processus stochastiques 39 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Caractérisation des processus aléatoires Processus indépendants Processus aléatoires et SLIT Définition : (processus indépendants) Deux processus sont dits indépendants quand : f xt . xt 1 p Systèmes linéaires invariants dans le temps : SLIT X ξ i ) Y ξ i ) yt p + yt N ( xt xt p , yt p + ytN ) = f xt . [...]