Les variables aléatoires

Résumé du document

Rappel sur la notion des variables aléatoires v.a

- Une variable aléatoire est un codage de l'espace des réalisations, qui fait correspondre à chaque événement élémentaire un nombre réel (ou complexe).
- Introduire la possibilité de manipuler une fonction du résultat d'une expérience aléatoire ou variable aléatoire.
- Comprendre la notion de loi et savoir donner la loi d'une variable aléatoire réelle (...)

Extraits

[...] dz n z = Rx est dit rayon de convergence de GX(z) Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 2 : Variables aléatoires 51 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 2 : Variables aléatoires Les transformées Fonction génératrice Les transformées Fonction génératrice Proposition Soit X une v.a. à valeurs dans N de rayon de convergence Rx > 1. Alors X admet des moments de tout ordre et dn GX ( z ) = k ( k ( k n + pk 1k = E { X ( X ( X n + n dz k z Proposition Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N. [...]

[...] continues usuelles Loi Beta V.A. continues usuelles Loi Chi-carré La loi Beta : X ~ β si ( a > b > La Chi-carré (Chi-Square) X ~ χ 2 1 x a x)b [...]

[...] continues usuelles V.A. discrètes usuelles Densité de probabilité conditionnelle Fonction d'une variable aléatoire continue Fonction d'une variable aléatoire discrète Espérance, variance et moments Fonction caractéristique Fonction génératrice Conclusion Chapitre 2 : Variables aléatoires 2 Chapitre 2 : Variables aléatoires Automne - 2009 Enseignant : Mohamed L. AMMARI Siméon Denis Poisson (1781-1840) Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Jacques Bernoulli (1654-1705) Chapitre 2 : Variables aléatoires 1 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Introduction Illustration de la notion d'une variable aléatoire Rappel sur la notion des variables aléatoires v.a Une variable aléatoire est un codage de l'espace des réalisations, qui fait correspondre à chaque événement élémentaire un nombre réel (ou complexe) Introduire la possibilité de manipuler une fonction du résultat d'une expérience aléatoire ou variable aléatoire Comprendre la notion de loi et savoir donner la loi d'une variable aléatoire réelle Soient (Ω, un modèle probabiliste pour une expérience et X une fonction qui associe à tout événement ξ Ω un nombre réel (parfois complexe) x R Probabilité X (ξ ) B = Probabilité A = X ( B ) Ω ζ X (ζ ) S A x Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 B R 4 Chapitre 2 : Variables aléatoires 3 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 2 : Variables aléatoires Illustration de la notion d'une variable aléatoire Fonction de répartition Définition : (variable aléatoire réelle) Soit ( un espace de probabilité. [...]

[...] continues usuelles Loi Gamma La loi exponentielle est donnée par : 1 e , x f X ( = λ sinon. La loi Gamma est donnée par : X ~ G (α , β ) (α > β > xα e x / β , x f X ( = Γ(α ) β α otherwise. Cette loi est par exemple couramment utilisée pour décrire le temps de transmission d'un message en systèmes de communication. Si α = n est un entier, alors Γ( = 1/nµ) : Erlang n = Exponentielle f X ) x Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 2 : Variables aléatoires 15 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 2 : Variables aléatoires 16 V.A. [...]

[...] discrètes peut être définie comme une somme de Diracs, centrés sur les valeurs possibles de la variable, et pondérés par la probabilité de la valeur correspondante : f X ( x ) = δ ( x xi ) P ( xi ) i fX ( = 1 2πσ 2 e x µ ) / 2σ C'est une fonction en forme de cloche, symétrique autour du paramètre µ (moyenne de la variable ) 2 Comme f X ) dépend de µ et σ , on utilise la notation X N ( µ ,σ 2 ) Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 2 : Variables aléatoires 11 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 2 : Variables aléatoires 12 V.A. continues usuelles v.a. gaussienne ou normale V.A. [...]