Topologie générale : types d'espaces et applications

Résumé du document

Considérons l'ensemble R des nombres réels, Pour tout sous ensemble A de R, on appelle point intérieur de A, tout point p tel qu'il existe intervalle ouvert ]a,b[ contenu dans A et contenant le point p. Si chacun des points de A est un point intérieur Alors A définit un ouvert de R.
L'ensemble U des ouverts de R défini de cette manière est une Topologie sur R appelée la topologie usuelle de R (...)

Extraits

[...] < number > Espace compact Théorème 5.2 Tout fermé dans un compact est compact < number > Espace compact Démonstration Soient F un fermé et K un compact de E contenant F. Soit aussi i  I une famille d'ouverts (ouverts pour la topologie de dont la réunion contient F La famille  {Ui,i  est un recouvrement ouvert de K. On peut donc en extraire un recouvrement fini de (Ui)i  I0 où I0 est une partie finie de I mais alors F   Ui, et F est compact < number > Espace compact Proposition 5.3 Une réunion finie de sous espace compacts est compacte Une intersection de sous espaces compacts est compacts < number > Espace compact Démonstration Soit une famille finie de sous espaces compacts. [...]

[...] Montrer que tout espace séparé fini est discret? Montrer que dans un espace séparé toute partie réduite à un point est fermé, tout sous-espace est séparé, tout sous-ensemble fini est fermé? < number > Espaces topologiques séparable Un espace topologique est séparable s'il existe une partie A E dénombrable et dense dans E Exemple 1.12 R muni de sa topologie usuelle est un espace topologique séparable < number > Bases de Topologie Base de topologie Soit un espace topologique; une partie B de est appelée base de la topologie de E si elle vérifie : tout ouvert de E est réunion d'éléments de B. [...]

[...] Montrer qu'il existe un indice i0 tel que Ui0 = où K est un compact de E et en déduire que E' est compact 4. Montrer que si E n'est pas compact on a la fermeture de E est E' < number > Espace connexe Un espace topologique E (non nécessairement séparé) est connexe si : Il n'existe pas de partition de E en deux ensembles ouverts ou, condition équivalente :  et E sont les seules parties à la fois ouvertes et fermées < number > Espace connexe Une partie A d'un espace topologique E est une partie connexe, ou ensemble connexe, si le sous espace A est connexe. [...]

[...] Exercice Soit D' = D  E où E = a,b  R et E a,b =  7.1 Montrer que D' est base d'une topologie T' sur R2 ? 7.2 Démontrer que T' est strictement plus forte que T Exercice Calculer l'intérieur et l'adhérence de D pour T' ? Exercice 3 Soit E un ensemble non vide et T l'ensemble formé par le vide et les complémentaires des parties finies Montrer que est un espace topologique ? Est-il séparé ? Trouver un compact de E. [...]

[...] Si pour toute famille i  I vérifiant K   Ui, on peut extraire une sous famille finie recouvrant K alors cela prouve que pour toute famille d'ouverts de K ( pour la topologie induite de E sur et recouvrant on peut extraire une sous famille finie recouvrant K est donc compact pour la topologie induite. < number > Espace compact Théorème 5.1 Tout compact est fermé < number > Espace compact Démonstration Soit K un compact de E (on peut avoir K = E). Montrons que Kc est ouvert. [...]