Théorie naïve des ensembles

Résumé du document

Partition d'un ensemble

Définition :
Soit E non vide et P une partie de P(E) ( donc un ensemble de parties de E ).
On dit que P est une partition de E ssi :
- Tout élément de P est non vide
- 2 éléments distincts de P sont disjoints
- Tout élément de E appartient à l'ensemble des élément de P (...)

Extraits

[...] C h a p i t r e 2 : T h é o r i e n a ï v e d es e nse m b l es Ensembles et éléments Un ENSE M B L E est une collection d'objets définis sans ambigüités et des objets de cet ensemble sont appelés éléments. { } Ø = { } de { Ø } B = { Ø, } Si x est un élément de on note x E Deux ensembles sont égaux A=B Ils ont les même éléments. Définition en extension d'un ensemble : Liste non-ordonnée et sans répétition de ses éléments. [...]

[...] Bijection Non-Bijection a b VI) a b Cardinal d'un ensemble Définition : Remarques : 2 ensembles infinis ont même cardinal s'il existe une bijection entre ces 2 ensembles. S'il existe une bijection d'un ensemble E dans ou si E est de cardinal fini, on dit que E est dénombrable Exemples : est dénombrable car il est de cardinal fini L' ens des nombres pairs est dénombrable Car on retrouve une relation binaire entre N et les nombres pairs N 2N R n'est pas dénombrable Démonstration par l'absurde. [...]

[...] Propriétés : Produit cartésien Couples, n-uplets Un couple est une liste ordonnée de 2 éléments Un n-uplet est une liste ordonnée de n éléments. Théorème : = a=c et b=d Produit cartésien Définition : Soient E et F deux ensembles, le produit cartésien de E et F est définie par ExF = et } Exemple : A = [ 1,3 ] et 0,1 ] [ 3,4 ] , alors AxB = Exemple de démonstration : B , A x B AxB Soit A x B donc x A et y B donc donc AxB Soit AxB Relation binaires : Définitions : Soient E et F deux ensembles On appelle relation binaire de E vers F tout sous-ensemble ExF. [...]

[...] A B ( x x B ) On dit que A est une partie de ou un sous-ensemble de B. Théorème : A=B A B et B A Propriété : C des ensembles ( A B et B C ) ( A C ) est vrai Démonstration : Pour démontrer qu'une implication est vraie, on suppose que le 1er nombre est vrai, et que forcément le second nombre est vrai. Supposons A B et B C Démontrons que A C : Soit x un élément quelconque de montrons que A C x A et A B donc x B x B et B C donc x C Ensemble des parties : Si E est un ensemble, on admettra que les parties de E forment un ensemble noté P(E). [...]

[...] Soit x A donc OU Vrai donc x A B donc par hypothèse x B Donc x B Lois de Morgan : ( le correspond à la barre au dessus du caractère, impliquant la négation ) A B A B Démonstration Soit x A B ( x ) VRAI ( x A OU x B ) ( x A ) ET ( x B ) x A ET x B B Complémentaire d'une partie A de E CEA E A = { x E x B } A Propriétés fondamentales : et sont commutatives et associatives et sont distributives l'une par rapport à l'autre A = A = A Partition d'un ensemble Définition : Soit E non vide et P une partie de ( donc un ensemble de parties de E On dit que P est une partition de E ssi : - Tout élément de P est non vide - 2 éléments distincts de P sont disjoints - Tout élément de E appartient à l'ensemble des élément de P IV) Cardinal Le cardinal d'un ensemble E fini est le nombre de ses éléments. Il est noté E . [...]