Cours de Maths prépa MPSI sur la théorie de la dimension

Résumé du document

On peut donc envisager des "compressions de personnel" dans un système lié en vue d'éliminer des éléments "parasites" et d'obtenir un système minimal, libre, où chacun des vecteurs sera essentiel au sein de cette équipe S. Plus précisément : (...)

Extraits

[...] E est un plan vectoriel de base Soit x un vecteur de E. Par hypothèse ses termes de rang pair sont en progression arithmétique donc régis par une formule élémentaire du type x2n=x0+nr. De même si r' désigne la raison de la progression arithmétique des termes d'indice impair on peut écrire x2n+1=x1+nr' pour tout entier n. Considérons alors les quatre suites a,b,c,d définies par les formules suivantes : ( n Il est clair que x se décompose sous la forme x=x0a+rb+x1c+r'd. [...]

[...] On montre aussi facilement que dans le caractère linéaire de chacune des applications uk . Remarquons pour conclure qu'aucune de ces applications n'est nulle, sinon Im(f) serait inclus dans un espace de dimension strictement inférieur à ceci en contradiction avec rang(f)=r. On a donc bien écrit f comme somme de r applications de rang les applications fk définies sur E par fk(x)=uk(x)bk Im(g ; ; _ On vient de voir que Im(g est un sous-espace de on a donc nécessairement dimK(Im(g ( dimK(Im(g)), soit : rang(g (rang(g). [...]

[...] Pour tout vecteur y de F on pourra dire que admet au moins un antécédent x pour g donc s'écrira g f(x). On en déduit l'existence d'un vecteur n de Ker(g) pour lequel f(x)+n. Ainsi F coïncide avec la somme des deux sous-espaces Im(f) et Ker(g). _ Si F=Im(f)+Ker(g). Tout élément de Im(g) est par définition du type avec y vecteur de F donc pouvant se décomposer par hypothèse en somme avec x(E et n(Ker(g). Par linéarité de g on en déduit : g g f(x). Ainsi z appartient à Im(g f). [...]

[...] Il reste donc d'où l'on déduit la nullité de tous les xk pour puisque S est un système supposé libre. L'extension S' est donc encore libre. On peut là aussi donner une image ‘économique' de ce principe, en considérant des ‘embauches' répétées jusqu'à réalisation du projet d'entreprise. Ici le but à atteindre est la création d'une équipe S permettant de reconstituer tout vecteur de E comme combinaisons linéaires des éléments de et ceci de manière unique. On commence par choisir arbitrairement un vecteur e1 non nul dans E. [...]

[...] Que se passe t-il si on supprime l'hypothèse sur la dimension de E ? 9. Dans le R-espace des fonctions de R dans R on considère pour tout entier non nul k le vecteur fk défini par la formule Le système Sn=(f1, f fn) est il libre pour tout n entier non nul ? 10. Dans R3 on considère le système S formé des 4 vecteurs : ; ; ; 0). Déterminer le rang de donner une base de R3 qui soit extension d'une base du sous- espace engendré par S Montrer que tout système P Pn) de polynômes non nuls à coefficients dans K dont les degrés sont tous distincts deux à deux est nécessairement libre On considère l'ensemble noté M3(R) des matrices carrés à coefficients réels d'ordre 3 lignes et 3 colonnes) muni des lois usuelles suivantes : _ Somme des matrices, définie en additionnant terme à terme les éléments correspondants de chacun des tableaux. [...]