Les théorèmes de Sylow

Résumé du document

Le théorème de Lagrange nous apprend que l'ordre d'un élément dans un groupe fini est un diviseur de l'ordre du groupe. Le théorème de Lagrange peut s'énoncer encore sous la forme suivante: l'ordre d'un sous groupe d'un groupe engendré par un élément de ce groupe est un diviseur de l'ordre du groupe. Il est alors naturel de se
poser le problème de la réciproque:
– Si p est un diviseur de l'ordre d'un groupe existe-t-il un élément d'ordre p dans ce groupe?
– Si p est un diviseur de l'ordre d'un groupe, existe-t-il un sous groupe d'ordre p dans ce groupe?
Les théorèmes de Sylow qui sont une généralisation du théorème de Cauchy, apporteront des éléments de réponse à ces questions.