Le théorème de Thalès et ses dérivées

Thèmes abordés

Géométrie, théorème de Thalès, parallélisme, théorème des milieux, théorème de Ménélaüs, théorème de Céva, théorème de Pappus, théorème de Desargues

Résumé du document

Le théorème de Thalès (ou sa réciproque) peuvent être utilisés en géométrie pour établir des conditions d'alignement ou de parallélisme liés à la géométrie projective (le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon). Il peut être utilisé pour remplacer les homothéties dans les démonstrations.

Extraits

[...] Dans les 4 théorèmes suivants, on peut utiliser le théorème de Thalès pour faciliter les démonstrations Théorème de Ménélaüs Ménélaüs théorème – GeoGebra Tansversale: MATH. [En parlant d'une droite] Qui coupe une figure (polygone, courbe, surface). Théorème de la transversale. Théorème découvert par Hipparque, définissant les relations entre les segments déterminés sur les côtés d'un triangle et leurs prolongements, appelé aussi théorème de Ménélaos. Propriété : Soit ABC un triangle et soit D une transversale, c'est-à- dire une droite qui coupe respectivement les droites en A′,B′,C′. On suppose ces points distincts des sommets du triangle. [...]

[...] Lieu de décès : Milet, Turquie vers 548-545 av. J.-C. Aucun de ses écrits ne nous est parvenu de telle sorte qu'il est difficile de préciser ses idées et d'être assuré de certaines de ses découvertes mathématiques.On rapporte qu'il prédit une éclipse de soleil en 585 av JC. On lui attribue cinq théorèmes de géométrie élémentaire: 1. Un cercle est partagé en deux parties égales par tout diamètre Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux Les angles opposés par le sommet sont égaux Deux triangles sont congruents s'ils ont deux angles et le côté compris égaux Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. [...]

[...] P l'intersection de (AB′) et (BA′) Q l'intersection de (AC′) et (CA′) R l'intersection de (BC′) et (CB′) Alors les points Q et R sont alignés. Lien avec Thalès: On l'utilise pour démontrer la variante affine de Pappus, dans laquelle les droites qui se croisent sont en fait parallèles. Exemple Geogebra 13 Théorème de Desargues Théorème: Soient et trois droites distinctes, concourantes ou parallèles. Soient ABC et deux triangles tels que A et appartiennent à B et appartiennent à et C et appartiennent à (d2). [...]

[...] Alors, on a l'égalité de rapports de longueurs : Qui tend vers un même point. ♦ Droites concourantes. Droites passant par un même point : Lieu des points équidistants de deux droites concourantes : deux droites perpendiculaires formées par les bissectrices des quatre angles que déterminent les deux droites. En géométrie, une cévienne d'un triangle est, dans son acception la plus générale, une droite passant par l'un des sommets Démonstration: Transversale:[En parlant d'une droite] Qui coupe une figure (polygone, courbe, surface). Théorème de la transversale. [...]

[...] Prouver que les droites et ne sont pas parallèles Théorème des milieux 1. Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté Réciproque: Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu. [...]