Théorème des résidus - rappel et exercices

Résumé du document

Une fonction holomorphe est une fonction qui est définie et dérivable en tout point de l'espace considéré. S'il existe un point où la fonction n'existe pas, la fonction est dite holomorphe sauf en ce point. Pour calculer l'intégrale de la fonction il faut utiliser la méthode des résidus. S'il n'y a pas de points à problème l'intégrale est nulle (théorème de Cauchy généralisé).

Extraits

[...] Théorème des résidus - rappel et exercices Analyse Complexe EXEXCICES D'ANALYSE COMPLEXE OU COMMENT CALCULER UNE INTEGRALE PAR LA METHODE DES RESIDUS − R Puis, calculer l'intégrale sur l'arc de cercle pour pouvoir ainsi déterminer I1. Car en manipulant l'équation 7 on retrouve I1 : 1 = + () (Eq. Etape 1 : Commençons par calculer les résidus. Nous savons qu'il s'agit de deux pôles d'ordres 3. [...]

[...] Il suffit alors de calculer Res(f,i). Mais avant, comment a-t-on trouvé i et ? Dans notre cas, le deviner est facile, mais détaillons le calcul des racines: (eiθ+nπ)²=-1 Or -1=eiπ et r=1 pour que l'équation soit juste. On a donc e2iθ+2nπ=eiπ soit 2iθ+2nπ=iπ θ=π/2 c'est-à-dire sur le cercle trigonométrique i et car z=ei (π/2 –nπ)=cos(π/2 sin(π/2 On calcul alors Res(f,i)= lim→ Res(f,i)= lim→ Res(f,i)= lim→ Res(f,i)= lim→ 1 [( )3 ] avec [( 1 [( )3 ( 2 ] )3 [(−1)(+1)]3 ] = lim → (+1) 1 + = 3 16 3 3 On a donc, avec le théorème des résidus que J1=2iπ16 = 8 étant donné que nous n'avons qu'un résidu à calculer puisqu'il n'y a qu'un point dans le contour il n'y a pas de somme. [...]

[...] Nous allons alors utiliser l'équation 3 pour déterminer les résidus. Mais d'abord, il est important de remarquer qu'avec ce contour, seul certains points vont y être contenu, il est alors inutile de calculer ceux qui n'y sont pas. Dans notre cas, i et sont des pôles d'ordres 3. Or, n'est pas dans le contour. [...]

[...] Pour vérifier si une fonction est holomorphe il faut appliquer les conditions de Cauchy : = et = où X et Y sont respectivement les parties réelles et imaginaires de la fonction. (La somme, le produit, le quotient de fonction holomorphe sont holomorphe) Etape 1 : ²+² = + (− ) On a donc deux pôles d'ordre 1(on utilisera donc l'équation ±, -ik est en dehors du contour on ne prend donc que ik en compte. [...]