Théorèmes de Thalès et Pythagore

Résumé du document

Cours illustré de Mathématiques portant sur les théorèmes de Thalès et Pythagore.

Extraits

[...] Forme trigonométrique Le théorème de Pythagore donne la première relation trigonométrique : sin² α + cos² α = 1 Dans le triangle rectangle ABC on a : + = Divisons les deux membres de cette égalité par + = Ou : + = 1 Si α représente l'angle ACB on a sin α = AB/BC et cos α = AC/BC Donc : sin² α + cos² α = 1 Cas particulier ABCD est un carré. Le triangle ABD est rectangle et isocèle. [...]

[...] On y apprend à voir dans le nombre entier le principe de toute chose, et on le considère à la base de l'harmonie universelle. Cette école est à l'origine de la découverte des nombres irrationnels. La politique des pythagoriciens, pour qui le plus grand des maux est l'anarchie, est théocratique, aristocratique et conservatrice. On ignore si Pythagore lui-même a proposé une démonstration de son fameux théorème, connu depuis ans par les babyloniens et les égyptiens. Enoncé du théorème Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. [...]

[...] Réciproque Si deux droites déterminent sur deux sécantes quelconques des segments homologues proportionnels alors elles sont parallèles. AB/AE = BC/EF = AC/AF Application au triangle La situation est la même si dans un triangle une droite est parallèle à un côté. Si alors AB/AE = BC/EF = AC/AF On dit alors que les triangles ABE et ACF sont semblables ou homothétiques. On a alors : AB/AC = AE/AF = BE/CF (important 1 Cette propriété est notamment vraie si les points B et E sont les milieux des côtés et On obtient alors le fameux théorème des milieux : Dans un triangle la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté Si M est le milieu de et N est le milieu de alors Le théorème de Thalès sert soit à calculer des longueurs en se basant sur le fait que des droites sont parallèles soit à démontrer que des droites sont parallèles Il peut aussi avoir une utilité pour des tracés purement géométriques (partage de segments). [...]

[...] Théorème de Thalès Thalès de Milet Philosophe, astronome et mathématicien grec (environ VIe siècle avant JC) Grand voyageur, il aurait rapporté de Babylone et d'Egypte les éléments d'algèbre et de géométrie qui lui auraient permis de déterminer certaines propriétés élémentaires de géométrie plane notamment sur les angles, les triangles et les parallèles. Il doit sa célébrité à l'évaluation de la hauteur de la grande pyramide à l'aide de son ombre et à la prédiction de l'éclipse de soleil de 585 avant JC. Il est à noter que Thalès ne connaissait pas le théorème qui porte son nom qui d'ailleurs ne sera démontré par Euclide que trois siècles plus tard ! [...]

[...] a = AB = AD On peut calculer la diagonale du carré en appliquant le théorème de Pythagore. = + = + = Donc : BD = Le théorème de Pythagore sert soit à calculer des longueurs en se basant sur le fait que ces longueurs sont celles de côtés de triangles rectangles soit à démontrer qu'un triangle est rectangle ou que des droites sont perpendiculaires (ce qui revient au même) Un peu d'histoire Sur les rives du Nil, deux mille ans avant JC, la légende raconte que les égyptiens se servaient d'une corde à treize nœuds de longueur 12 pour tracer des angles droits. [...]