L'arithmétique

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur l'arithmétique.

Extraits

[...] on appelle identité de Bezout l'équation ax + by = a ٨ b qui possède toujours des solutions. [...]

[...] Nous l'appelons le Plus Petit Commun Multiple de a et de soit le PPCM ou, a ٧ b Pour calculer a ٧ b , il faudrait décomposer a et b en facteurs Premiers Exemple de calcul : 791 ٧ = 71 x =24 x31 x71 Et l'on prend cette fois tous les nombres Premiers, affectés du plus fort exposant ٧ 336 = 24 x31 x 71 x 1131 = 37968 Ce qui demande beaucoup de calculs Une fois encore, il est préférable d'utiliser l'algorithme d'Euclide en se servant de la formule suivante : Le PGCD et le PPCM sont liés par : donc : ab = ٧ x (a1b) Exemple précédent : 791 ٧ 336 Exemple 2 : 84/2 42/2 21/3 ٧ 336 = 791 x 336 / 7 = 265776 / 7 = 37968 PPCM : 84 ٧ 630 = 1260 630/2 315/3 105/3 35/5 = 22 x31 x 50 x = 21 x32 x 51 x 71 Avec l'algorithme d'Euclide : le PGCD (84,630) = 42 donc le PPCM(84,630) = 84 x 630 = Exemple 3 : a υ b = ab/a ٨ b PPCM : 108 ٧ 60 = 108 x 60 = - Page 10 - = 22 x32 x 51 x 71 QUATRIEME PARTIE - ARITHMETIQUE L'Identité de BEZOUT Le théorème de Bezout est le suivant : Soient a et b des entiers fixés, appartenant à N*. L'ensemble des nombres de la forme ax + by où l'on a : x et y Z ( x et entiers relatifs quelconques qui coïncide avec l'ensemble des multiples de a ٨ b. Donc, une équation du type ax + by = c avec et entiers relatifs connus, entiers relatifs inconnus, possède des solutions si et seulement si c est multiple de a ٨ b. [...]

[...] } On note , l'ensemble des Entiers strictement positifs : = { } L'Arithmétique est l'étude de ces ensembles Division Euclidienne Propriétés : a/a : relation réflexive car 1xa si b/a et a/b : relation antisymétrique car on a alors a=b si b/a et c/b : relation transitive car on a c/a divise si c/a et c/b : on a alors et si c/a ou c/b : on a alors c/ab si b/a et c/d : on a alors bc/ad Nombres premiers Liste des 25 nombres premiers inférieurs à 100 : PGCD : Plus Grand Commun Diviseur Propriétés : a٨b=b٨a a٨0=a a٨1=1 a٨a= a a ٨ b = b si et seulement si b divise a si p est premier : a ٨ p = p quand p divise a = 1 quand p ne divise pas a si p et q sont premiers : p ٨ q = p quand p = q = 1 quand p est différent q - Page 1 - QUATRIEME PARTIE - ARITHMETIQUE Algorithme d'Euclide : Exercices Propriétés Théorèmes : Les diviseurs communs à deux nombres sont tous les diviseurs de leur PGCD Le calcul du PGCD est une opération associative : a ٨ (b.c) = (a.b) ٨ c La multiplication est distributive par rapport au PGCD : (c.a) ٨ (c.b) = c.(a ٨ Si est un diviseur commun à a et pour qu'il soit leur PGCD il faut et suffit que a/c et b/c soient premiers entre eux.(a/c) ٨ a ٨ b divise ٨ quels que soient c et d dans Théorème de Gauss Soient b et c trois éléments de Si a ٨ b = et si a divise bc, alors a divise c Si a ٨ b = et si a ٨ c = alors a ٨ Si a ٨ b = alors a ٨ = a ٨ c Exercices : Calcul par la décomposition en facteurs premiers PPCM : Plus Petit Commun Multiple Le PGCD et le PPCM de deux nombres a et b sont liés par : ab v b).(a ٨ donc a v b = ٨ Exercices : Calcul par la décomposition en facteurs premiers et par l'algorithme d'Euclide Identité de Bézout : Théorème de Bézout Exemples et Exercices - Page 2 - QUATRIEME PARTIE - ARITHMETIQUE Division Euclidienne En plus de l'addition, la soustraction, la multiplication compris la division), on peut faire une 4ème opération fondamentale en arithmétique. Théorème 1 Soient a et b des entiers. [...]

[...] Les éléments de qui divisent à la fois a et b sont compris entre 1 et le plus petit élément a ou b Ces éléments forment un ensemble fini, non vide car il contient au moins 1 élément qui possède un plus grand élément pour la relation Nous l'appelons le PGCD, le plus grand commun diviseur de a et de ou pgcd de a et b et nous le notons a ٨ b. Quand deux nombres entiers ont leur PGCD = on dit qu'ils sont Premiers entre eux. [...]

[...] Méthode pour décomposer un nombre en facteurs Premier 1. Déterminer le plus petit diviseur de N autre que 1 : C'est le plus petit facteur Premier de N 2. Diviser N par ce facteur Premier : Ce qui donne M pour quotient Si M > il faut recommencer cet algorithme à partir du point 1 en remplaçant N par M. [...]