Le théorème des 7 cercles : démonstration

Résumé du document

Raisonnement par l'absurde (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec ancien apagôgê) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique (un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude ...) consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (ou "contraire"), soit à montrer la fausseté d'une autre proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes (...)

Extraits

[...] (H.S.M.Coxeter) Lemme technique 4 OUVRONS UNE PREMIÈRE PARENTHÈSE ( THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES* : ENONCÉ Soient A,B,C,D,E et F les sommets d'un hexagone convexe** inscrit dans un cercle. Les cordes et sont concourantes SI ET SEULEMENT SI AB.CD.EF = BC.DE.FA * Voir Rappel1 Voir Rappel THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION ΔABI et ΔDEI sont semblables : (Leurs angles sont égaux 2à2) CAR : ABI=IDE :ils interceptent* le même arc AE BAI=IED : ils interceptent le même arc BD AB/DE= AI/EI •*Rappel 3 •**Rappel THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION ΔEFI et ΔBCIsont semblables : (Leurs angles sont égaux 2à2) CAR : CBI=EFI :ils interceptent le même arc BE BCI=IEF : ils interceptent le même arc BF EF/BC = FI/BI THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION ΔCDI et ΔAFI sont semblables : (Leurs angles sont égaux 2à2) CAR : DCF=DAF :ils interceptent le même arc DF CDA=AFC : ils interceptent le même arc AC CD/AF = CI/AI THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION ΔBFI et ΔCEI sont semblables : (Leurs angles sont égaux 2à2) CAR : BFI=IEC :ils interceptent le même arc BC FBI=ICE : ils interceptent le même arc EF CI/EI = BI/FI THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION AB/DE= AI/EI EF/BC = FI/BI CD/AF = CI/AI CI/EI = BI/FI Multiplication membre à membre AB/DE EF/BC CD/AF CI/EI = AI/EI FI/BI CI/AI BI/FI Simplification AB. [...]

[...] LE THÉORÈME DES 7 CERCLES: HISTORIQUE Date de 1974 Découvert par : C. Evelyn G.B. Money-Coutts J.A. Tyrell 1 LE THÉORÈME DES 7 CERCLES : CONSTRUCTION Chaîne de six cercles : Chaque cercle est tangent : Extérieurement à deux cercles de la chaîne Intérieurement à un septième grand cercle 2 LE THÉORÈME DES 7 CERCLES : ENONCÉ Les trois droites (A1A4) , (A2A5) et (A3A6) sont concourantes Notation : A1,A2,A3,A4,A5 et A6 sont les points de contact des petits cercles avec le grand cercle LE THÉORÈME DES 7 CERCLES : DÉMONSTRATION DEUX RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.Critère de concours de droites 2.Calcul de la longueur d'une corde Théorème de Céva pour les cordes . [...]

[...] THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION Si AB.CD.EF = BC.DE.FA Alors Les cordes et sont concourantes (Ce sens est important pour les 7cercles) Tout d'abord : Fixons des idées SANS perdre de généralité •L'arc CDE a une longueur inférieure à celle d'un demi cercle. Car : Au moins l'un des trois arcs ABC,CDE,EFA a une longueur inférieure à celle d'un demi cercle ( les six points sont situés sur le même cercle) Notons : CDE ( avec UЄ arc DE) THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION On a : AB.CU.EF=BC.UE.FA AB.CD.EF=BC.DE.FA CAR et sont concourantes Par Hypothèse THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION On a : AB.CU.EF=BC.UE.FA AB.CD.EF=BC.DE.FA CD/DE = CU/UE THÉORÈME DE CÉVA POUR LES CORDES : DÉMONSTRATION Par L'ABSURDE*: Supposons que U D Alors CD UE Donc CD/DE [...]

[...] 24 FERMONS LA DEUXIÈME PARENTHÈSE ) 25 REVENONS AUX FAMEUX CERCLES LES 7 CERCLES : NOTATIONS ET CONVENTIONS ri:rayon du cercle dont le point de contact est Ai r7=r LES 7 CERCLES : DÉMONSTRATION 28 D'après le lemme : DONC 33 D'après le théorème de Céva pour les cordes : SONT CONCOURANTES CQFD 34 Enfin 35 RAPPELS 36 RAPPEL.1 : THÉORÈME DE CÉVA ‘CLASSIQUE' . Théorème Soit ABC un triangle, soient E et F trois points distincts des sommets et appartenant respectivement aux segments et [AB]. Les droites et sont concourantes si et seulement si Un peu d'histoire Giovanni Ceva (Milan 7 décembre 1647 Mantoue 15 juin 1734) était un mathématicien italien RAPPEL.2 : POLYGONE CONVEXE- CONCAVE Un polygone est convexe : Quand on relie deux points quelconques situés à l'intérieur du polygone, tous les points de la droite sont à l'intérieur du polygone. [...]

[...] Un polygone est concave :Quand on relie deux points quelconques situés à l'intérieur du polygone, certains points de la droite peuvent être à l'extérieur du polygone. Un polygone concave possède au moins un angle intérieur dont la mesure est supérieure à 180 degrés RAPPEL.3 THÉORÈME DE L'ANGLE INSCRIT Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure RAPPEL.4 : TRIANGLES SEMBLABLES Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels RAPPEL.5 : RAISONNEMENT PAR L'ABSURDE (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec ancien apagôgê ) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude . [...]