Tests d’hypothèses sur les moyennes

Thèmes abordés

Hypothèses sur les moyennes, valeur spécifiée, moyenne, échantillons appariés, test dégalité

Résumé du document

Considérons n individus qui sont soumis à deux mesures successives. Nous
sommes en présence de deux mesures dépendantes ou appariées. Par
exemple, des copies d'un examen font l'objet d'une double correction par
deux correcteurs différents.
Considérons les deux mesures X et Y dont les deux échantillons sont
(X1, . . . ,Xn) et (Y1, . . . ,Yn).
La variable de différence est D = Y −X ayant comme échantillon
(D1, . . . ,Dn), avec Di = Yi −Xi.
La moyenne théorique de D est notée mD. Le test qui montre s'il y a une
différence significative entre les deux mesures X et Y est
H0 : mD = 0 (Différence non significative)
H1 : mD ≠ H0 (Différence significative)

Extraits

[...] e Notre objet est de tester H0 : m1 = m2 = m3 = . = mk (Toutes les moyennes sont ´gales) e H1 : j : mi = mj Soit x la moyenne empirique totale avec n = n1 + n2 + . + nk . 11 / k ni j x n i IV. Test d'´galit´ de plusieurs moyennes “ANalysis Of e e VAriance (ANOVA)”(suite) Il est facile de voir que xj x = xj xi + xi x. [...]

[...] Test d'´galit´ de plusieurs moyennes “ANalysis Of e e VAriance (suite) I Condition : On suppose que les k populations ont une mˆme variance σ e On montre les r´sultats suivants : e * * * nS2 R σ2 nS2 E σ2 nS2 σ2 e e suit une loi khi-deux ` n k degr`s de libert´ ; a e e suit une loi khi-deux ` n 1 degr`s de libert´. a CME = nS2 E , CMR = nS2 R . suit une loi khi-deux ` k 1 degr`s de libert´ ; a e e On d´finit les carr´s moyens e e La statistique du test est S2 1 CME E = 2 CMR SR k 13 / 14 qui suit une loi de Fisher ` k 1 et n k degr`s de libert´. a e e IV. [...]

[...] Partie 1 : Tests d'hypoth`ses sur les moyennes e 1 / 14 I. Test de comparaison d'une moyenne ` une valeur a sp´cifi´e e e Soit P une population de moyenne th´orique m et de variance σ On e consid`re Xn ) un ´chantillon de taille n issu de la population P. e e La moyenne empirique de l'´chantillon est e 1 n X = Xi n i=1 La variance empirique de l'´chantillon est e S2 = n 1 ( Xi X ) 2 n 1 i=1 En th´orie d'estimation, X estime m et S2 estime σ Ce sont deux e estimateurs ponctuels. [...]

[...] Comparaison de moyennes d'´chantillons appari´s e e (suite) Exemple : Dans l'exercice on d´sire tester e H0 : mD = 0 (Le programme n'est pas efficace) H1 : mD > 0 (Le programme est efficace) 10 / 14 IV. Test d'´galit´ de plusieurs moyennes “ANalysis Of e e VAriance On dispose de k ´chantillons de tailles respectives n nk . Ils ont les e formes xn1 xn2 ) xnk ) k k Les moyennes th´oriques des k populations correspondantes sont e m mk . [...]

[...] Test d'´galit´ de deux moyennes (suite) e e Condition fondamentale : Les deux variances σ 2 et σ 2 sont ´gales. Le e test de Levene permet de tester l'hypoth`se H0 : σ 1 = σ 2 (Egalit´ de e e = σ On rejette H lorsque deux variances) contre l'alternative H1 : σ la siginification est inf´rieure ` e a Le test d'´galit´ de deux moyennes est e e e H0 : m1 = m2 (Egalit´ de deux moyennes) H1 : m1 = m2 (Alternative) La statistique du test est u = 1 n + 1 m , ( n 1 ) S2 + ( m 1 ) S e e Cette statistique t suit une loi de Student ` n + m 2 degr`s de libert´. [...]