Tests d'hypothèses en Mathématiques

Résumé du document

On va tester des hypothèses portant sur un paramètre (nombre caractéristique) relatif à une distribution de probabilité, (c'est-à-dire une proportion etc. ...).
Les quantités (une longueur, une somme d'argent, un poids ...) étudiées auront des lois de probabilités connues (par exemple la loi normale).
On va essayer de rejeter une hypothèse, appelée l'hypothèse nulle, notée H0 (c'est l'hypothèse souvent du "statu quo")
L'autre hypothèse, l'hypothèse alternation, sera notée H1 ou Ha (...)

Extraits

[...] Chapitre 2 : Tests d'hypothèses On va tester des hypothèses portant sur un paramètre (nombre caractéristique) relatif à une distribution de probabilité, (c'est-à-dire une proportion etc . Les quantités (une longueur, une somme d'argent, un poids ) étudiées auront des lois de probabilités connues (par exemple la loi normale). On va essayer de rejeter une hypothèse, appelée l'hypothèse nulle, notée H0 (c'est l'hypothèse souvent du statu quo L'autre hypothèse, l'hypothèse alternation, sera notée H1 ou Ha. Exemple d'utilisation : on considère une variable aléatoire qui suit une loi connue, avec une moyenne m. [...]

[...] Exemple : un produit est vendu par 3 formes C H0 : pA = 0,3 ; pB = ; pC = 0,2 (pA : la part de marché pour la proportion de ce produits vendue par H1 : au moins l'une des 3 proportions est différente On prélève un échantillon de ce produit est on obtient : 48 + 98 + 54 = 200 Or T suit une loi du à 3 - 1 = 2 degrés de liberté Ici une réalisation de T est : (48 60 + (98-100)²/100 + (40 / 40 = 12²/60 + 2²/100 + 14²/40 = 144/60 + 4/100 + 196/40 = 7,34 On teste au seuil de Ici α = 0,95 k = 2 Ici b = 5,99 Comme 5,99 [...]

[...] Avec cet échantillon, de n nombres, on fabrique une autre variable aléatoire Tn, dont on connaît aussi la distribution de probabilité (c'est-à-dire la façon dont sont distribuées les différentes valeurs de Tn). On teste alors la valeur d'un paramètre de Tn (par exemple la moyenne). H0 : m = α (α la moyenne à tester) H1 : m = α L'échantillon que l'on a obtenu, va nous permettre de calculer une valeur particulière de Tn. Si la valeur obtenue est trop extrême c'est-à-dire qu'il y a une probabilité inférieure à (ou parfois que cela se réalise, alors on rejette H0 (et on accepte H1). Sinon on peut rejeter H0. [...]

[...] (écart type) connue : X ( N ; inconnue : X ( loi de Student à - degrés de liberté. Utilisation du test du Khi deux I. Test sur des proportions On va comparer des proportions issues d'un échantillon, à des proportions théoriques On va considérer un échantillon de cardinal n. Appelons P1, Pk les proportions théoriques. Grace à ces proportions, on obtient des nombres d'objets théoriques On va comparer ces effectifs attendus aux effectifs de l'échantillon. [...]

[...] Résultat d'un échantillon de 150 individus : Préférence pour la bière Pour trouver le tableau type qui correspond à l'indépendance : - On laisse les marges (les totaux) - La cellule Cj) est remplacé par : (Total ligne * (total colonne / taille de l'échantillon Tableau théorique (d'indépendance) : On énonce les hypothèses : Ho : il y a indépendance H1 : il n'y a pas d'indépendance On construit T = Somme de (case i j observée i j Th) case i j Th T = ( 26.7 26.7 + (540- 37.3 37.3 + 23.3 23.3 + ( 32.7 + = 6.2 On regarde la table du avec * = * = 1*2 = 2 Au seuil de > Donc on peut conclure, avec une marge d'erreur de que : on peut rejeter l'indépendance. Pour tester l'indépendance : - Le seuil de confiance est donné (souvent . [...]