Cours de mathématiques sur les systèmes

Résumé du document

Cours de mathématiques (niveau Terminale) sur les systèmes, leurs résolutions, les démonstrations et théorèmes à connaître ainsi que la représentation graphique. Il est illustré par plusieurs exemples ainsi qu'une méthode de résolution.

Extraits

[...] Le couple (x0;y0) est l'unique solution du système. D et D' sont confondues. Le système admet une infinité de couples solutions. D et D' sont strictement parallèles. Le système n'admet aucun couple solution. Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues On considère le système : 3x+2y=12 a. Déterminer le nombre de couples solutions de ce système. b. Déterminer graphiquement un couple qui semble être solution du système et vérifier par le calcul que ce couple est bien solution du système. [...]

[...] Résolvons par combinaison linéaire le système L1 L1 ñ L2 L3 L1 L1 L2 ñ L2 L3 2×L1+L2 3×L1+L3 ñ . −2y+5z=12 . 4y+9z=26 2×L2+L3 19 11 ñ −2y+5z=12 ñ 19 . 19z=50 L'unique triplet solution du système est donc 52 ; 11 ; 50 III. Inéquations Systèmes d'inéquations à deux inconnues Théorème 5 : Soit la droite D d'équation ax+by+c=0. - Lorsque a et b ne sont pas simultanément nuls, l'ensemble des points tels que ax+by+c>0 est un demiplan de frontière D et ne contenant pas D. [...]

[...] Equation de droite Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues 1. Définitions et rappels Théorème 1 : Lorsque a et b ne sont pas simultanément nuls, l'ensemble E des points tels que ax+by+c=0 est une droite. Démonstration : a c 1er cas : bý0 : Alors ax+by+c=0 ñby=-ax−c ñy=- On reconnaît alors l'équation d'une b b droite de la forme y=mx+p (droite non parallèle à l'axe des ordonnées). c 2ème cas : b=0 (dans ce cas aý0) : Alors ax+by+c=0 ñ ax+c=0 ñ . [...]

[...] que le système admet un unique couple solution. Ici, le plus simple est de multiplier la première équation par 2 (on aurait aussi pu multiplier la première par 3 et la seconde par : 3x+2y=12 3x+2y=12 L'unique couple solution de est donc ; 3). 2/4 II. Systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues Définition 2 : On appelle système linéaire de trois équations à trois inconnues un système de la forme : ax+by+cz=d avec a', b', c', d', des constantes données. [...]

[...] Le point d'intersection des droites D et D' semble avoir pour coordonnées 1 j 0 i 1 x Vérifions que ce couple est bien solution de : et Le couple solution de est donc c. Résolvons le système par la méthode par substitution. Méthode : Après avoir déterminé le nombre de couples solutions du système, on isole l'une des inconnues dans l'une des équations pour la réinjecter dans l'autre équation On a vu question 1. que le système admet un unique couple solution. Ici, le plus simple est d'isoler y dans la première équation : 3x+2y=12 L'unique couple solution de est donc d. [...]