Systèmes linéaires et calcul matriciel

Thèmes abordés

Systèmes linéaires, calcul matriciel, équation linéaire, systèmes de Cramer, matrices carrées, calcul matriciel

Résumé du document

Résoudre un systeme (S), c'est trouver l'ensemble des solutions de (S).
Un système (S) est possible s'il admet une ou des solutions.
Un système (S) est impossible s'il n'admet aucune solution.
Un système (S) est indeterminé si le système admet strictement plus d'une solution.

Extraits

[...] +ar,n xn = br ) 0 = br+1 . . . = . 0 = bp ` avec ai,i = 0 A chaque ´tape, on choisit dans une des lignes restantes un pivot (un coefe ficient non nul) et on annule dans les lignes en dessous cette inconnue en effectuant les op´rations e ak,j Li . ´l´mentaires : Lk Lk ee ai,j Remarque : On choisira le pivot le plus grand dans le cas d'une r´solution algorithmique, afin e de limiter les erreurs d'arrondi, et le plus dans le cas d'un r´solution la main”. [...]

[...] On a alors Ek E2 E1 A = A A e ee u est triangulaire (c'est la matrice du syst`me triangulaire obtenu).Or, comme toutes les Ei sont e inversibles, on a l'´quivalence : e AX = B Ek E2 E1 AX = Ek E2 E1 B A X = B . Le syst`me correspondant ` cette derni`re ´galit´ est triangulaire, et donc facile ` r´soudre . e a e e e a e Cas particulier des syst`mes carr´s e e Syst`mes de Cramer e Th´or`me 7.1 Soit un syst`me lin´aire carr´, et AX = B son ´criture matricielle. A est e e e e e e inversible si et seulement si le syst`me est de Cramer, et dans ce cas, on a X = B. [...]

[...] e Exemple 4.2 Voici une matrice colonne de taille 3 : Matrice ligne D´finition 4.4 On appelle matrice ligne de taille p toute matrice au format p). e Exemple 4.3 Voici une matrice ligne de taille 4 : Matrice carr´e e 0 D´finition 4.5 On dit qu'une matrice est carr´e d'ordre n si elle a n lignes et n colonnes. e e On note Mn l'ensemble des matrices carr´es d'ordre n. e Les ´l´ments de la forme ai,i sont appel´s ´l´ments diagonaux de A. ee e ee 1 est une matrice carr´e d'ordre 3. [...]

[...] α c'est ` dire : a On appelle matrice nulle d'ordre n la matrice de Mn suivante : 0 0 . On = . c'est ` dire : ai,j = 0. a Op´rations matricielles e Somme de deux matrices D´finition 5.1 Soit A = (ai,j ) et B = (bi,j ) deux matrices de Mn,p On appelle somme de A e et et on note A + la matrice de Mn,p de terme g´n´ral ai,j + bi,j . e e Remarque : Pour additionner deux matrices, il faut imp´rativement qu'elles aient le mˆme e e format. [...]

[...] e e ıtre 3.3 Cas des syst`mes homog`nes e e Th´or`me 3.2 Soit un syst`me homog`ne de n ´quations ` n inconnues. Ce syst`me est de e e e e e a e Cramer si et seulement s'il admet le n-uplet ( pour unique solution. Th´or`me 3.3 Un syst`me de n ´quations ` n inconnues est de Cramer si et seulement si le e e e e a syst`me homog`ne associ´ est de Cramer. e e e Calcul matriciel - d´finitions e Matrices ` n lignes et p colonnes ` coefficients dans R. [...]