Suites et séries de fonctions

Résumé du document

Cours de Mathématiques de Classe préparatoire aux grandes écoles de deuxième année (PC*) sur les suites et séries de fonctions.

Extraits

[...] Soit t un élément de b]. Alors n = k=0 fk = Fn + Rn = k=0 fk + Rn La série de fonctions continues converge normalement sur b]. On en déduit que Fn et Rn sont continues sur le segment b]. On peut intégrer l'égalité précédente sur et n b b ! fk dt + b dt = a a n k=0 b Rn dt a = k=0 a fk dt + αn avec αn = Or, puisque b a Rn b a Rn dt. [...]

[...] II II.1 Convergence simple d'une série de fonctions Définition n On considère une suite de fonctions (fn de I dans K. On définit pour n Fn = k=0 fk . Définition II.1 On dit que la série de fonctions fn converge simplement sur I si la suite (Fn converge simplement sur c'est à dire si pour tout x de la série de réels (ou complexes) fn converge. n Définition II.2 (Fonction somme) Dans le cas où la série de fonctions n fn converge simfn et notée plement sur la fonction x n=0 fn est définie sur appelée somme de fn . [...]

[...] Pour on est alors amené à étudier les variations de fn . Attention ! Il est impératif de majorer fn indépendamment de x ! C'est le fait que le majorant εn ne dépend pas de x qui distingue la convergence normale de la convergence simple. Remarque : Si I alors la convergence normale sur I implique la convergence normale sur I . Définition III.3 (Convergence normale sur tout segment) On dit que la série de fonctions n fn converge normalement sur tout segment de I si, pour fn converge normalement sur K. [...]

[...] On considère la somme partielle Fn0 = k=0 fk d'indice n0 et le reste d'indice n Rn0 = Fn0 = k=n0 fk Alors, fk Rn0 = + k=n0 fk ε k = r n0 k=n0 ε On en déduit que si x élément de J vérifie x α, alors ε. On a démontré que F est continue en a. Cela est vrai en tout a donc F est continue sur I. Théorème IV.2 (Double limite ou limite terme à terme) Soit (fn une suite de fonctions définies sur I. [...]

[...] Démonstration : La fonction e0 est constante et vaut 1. Soit z un complexe non nul et n un entier. On pose fn : t dérivation. On montre que la série de fonctions n zn n t et on vérifie les hypothèses du théorème de n série n fn converge. Si t n'est pas nul, alors fn n'est pas nul. On a lorsque n tend vers Il en résulte, par application de la règle de D'Alembert, que la série n=0 n=1 n=0 k r z On en déduit par récurrence que, pour tout k entier, ez est de classe C La propriété est vraie pour k = 0 et k = 1. [...]