Les suites réelles

Thèmes abordés

Suites réelles, suites usuelles, suites convergentes, suites divergentes, théorèmes de convergence

Résumé du document

- un est le terme general de la suite (un).
- n est appelé le rang du terme un.
- Si I est une partie finie non vide de N, alors la suite (un) est une suitefinie. Si I est une partie infinie, (un) est une suite infinie.

Extraits

[...] e e major´e lorsqu'il existe un r´el M tel que, un M. e e minor´e lorsqu'il existe un r´el m tel que, un m. e e born´e lorsqu'elle est ` la fois major´e et minor´e. e a e e Suites extraites D´finition 1.4 Soit (un une suite r´elle et φ : N N une application strictement croissante. e e La suite v d´finie par vn = uφ(n) est une suite extraite de la suite u. e Exemples 1.1 La suite des entiers pairs est une suite extraite de la suite des entiers naturels (on a ici N un = N et φ : n 2n Consid´rons la suite u d´finie par un = , N. [...]

[...] On peut donc supposer a = 1. e e b On cherche c R tel que c = ac + ce qui donne c = . on pose vn = un c. On a alors, vn+1 = un+1 c = (aun + (ac + = a(un = avn . La suite (vn ) est donc g´om´trique de raison a et donc, on a vn = vp . Donc, e e b b 1 = up + b un = c + (up = + up . [...]

[...] a Remarque : Attention, mˆme si on a ` partir d'un certain rang un [...]

[...] r est appel´ raison de la suite. e Proposition 2.1 Terme g´n´ral d'une suite arithm´tique e e e Si (un est arithm´tique de premier terme up et de raison alors un = up + p)r. e Proposition 2.2 Somme de termes cons´cutifs d'une suite arithm´tique e e Soit (un une suite arithm´tique de premier terme up et de raison r. On a alors : e n k=p uk = p + un + up suites g´om´triques e e D´finition 2.2 (un est une suite g´om´trique si et seulement s'il existe q tel que e e e on a un+1 = qun . [...]

[...] Si q = alors (un ) est stationnaire, donc convergente et lim un = u si u0 > 0 Si q > alors (un ) est divergente et un = si u0 [...]