Les suites numériques - publié le 09/10/2009

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Lycée sur les suites numériques comprenant les théorèmes et les démonstrations à connaître, ainsi que quelques exercices.

Extraits

[...] On considère la suite définie pour n > 0 par u n = ( 2 k 1 ) . Démontrer k par récurrence que un = b. Démontrer par récurrence que pour tout x > et tout entier naturel n : + x 1 + nx ( Inégalité de Bernouilli ) c. Soit n un entier naturel et fn définie sur IR par fn(x) = xn. Démontrer par récurrence que fn est dérivable et que pour tout réel x f'n(x) = nxn-1. III- Convergence d'une suite 1. Vocabulaire et définitions a. [...]

[...] Une suite est minorée si il existe un réel m tel que pour tout entier u n M . On dit que m est un minorant de la suite (un). Une suite est bornée si elle est majorée et minorée. Exemples 1 est majorée par 1 n Pour tout entier (-1)ncosn π est minorée par 2n 1 Pour tout entier n est bornée, minorée par 1et majorée par 2. n+3 Pour n > 0 un= 1 b. Suites monotones Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. [...]

[...] Les suites arithmétiques et géométriques sont étudiées en France au Moyen-âge par des hommes comme Oresme et Chuquet mais il semble bien que ces deux suites étaient connues des Chinois à la même époque C'est à la Renaissance (en particulier en Italie) que les suites numériques (fonctionnelles ou récurrentes) qui appartiennent aussi bien à l'algèbre qu'à l'analyse furent étudiées systématiquement 1 Généralités - Rappels 1. Définition Une suite numérique est une application de IN dans IR qui à tout entier n associe un réel noté un. un est le terme général de rang n de la suite Mode de génération d'une suite Une suite peut être fonctionnelle. Elle est définie par la donnée de son terme n général . [...]

[...] Introduction On considère la suite définie pour tout entier n par : = 0 n = 2u n + 1 Cette suite est une suite récurrente. On souhaite obtenir une formule permettant de calculer un en fonction de n. La formule ne saute pas aux yeux On va utiliser un tableur pour conjecturer une expression de un en fonction de n A n B En observant le tableau on peut émettre la conjecture : pour tout entier un = 2n-1. On va démontrer cette conjecture. [...]

[...] Il existe donc un rang p tel que up> l. Comme est croissante, pour tout n un up. Si on considère l'intervalle l ε ; u p , ε > cet intervalle contient l et pour n ] [ un n'appartient pas à cet intervalle. Ce qui est contradictoire avec le fait que converge car à partir d'un certain rang tous les termes de la suite doivent appartenir à cet intervalle. Donc la suite est majorée. Vous pouvez vous entraîner à faire une démonstration analogue dans le cas d'une suite décroissante et minorée Limite infinie Dire qu'une suite tend vers + signifie qu'il existe un réel A > aussi grand que l'on veut, tel qu'à partir d'un certain rang n0, pour tout n n0, un appartient à l'intervalle ; + (Ecrire la définition analogue si tend vers Exemple Soit définie par un = montrons à l'aide de la définition que cette suite tend vers + . [...]