Suites numériques - publié le 02/06/2023

Thèmes abordés

Suites numériques, suites arithmétiques, suites géométrique, définition d'une suite, mode de définition, sens de variation, limite d'une suite, rang, indice, formule explicite, terme initial, tableau de valeurs, nombre réel, algorithme, signe de la raison, somme des puissances

Résumé du document

Ce document contient un cours sur les suites numériques. S'intéresser à la limite d'une suite, c'est s'intéresser à ce qu'il se passe quand n tend vers +? (c'est-à-dire quand n devient très grand). En première, cela consiste juste à observer un tableau de valeurs pour pouvoir conjecturer la limite de la suite.

Extraits

[...] Démonstration de la somme des n premiers entiers naturels : La suite { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; } est une suite arithmétique de raison 1. On s'intéresse à la somme de ces n premiers termes, c'est à dire S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n . S = 1 + 2 + 3 + . + ( n - 2 ) + ( n - 1 ) + n + S = n + ( n - + ( n - 2 ) + . [...]

[...] Par contre, on ne dira pas qu'elle est décroissante du rang 0 au rang 4. Méthode pour les suites définies de façon explicite étudier le sens de variations de f sur [ 0 ;+infinity[ utiliser la propriété suivante : si f est croissante sur [ 0 ;+infinity[ , alors est croissante si f est décroissante sur [ 0 ;+infinity[ , alors est décroissante Remarques : * Si par exemple, f n'est croissante que sur l'intervalle [ 2,5 ;+infinity[ , on conclura que la suite est croissante à partir du rang 3 (on ne parlera pas du fait qu'elle est décroissante sur les 3 premiers termes) Cette méthode est très pratique si les variations de f sont faciles à trouver et donc si f est facile à dériver. [...]

[...] n infinity convergente. n -->+infinity Algorithme correspondant : le programme peut Exemple : u n n pour n⩾ répondre à la question suivante . « Déterminer le plus petit entier n tel que un n un dépasse un seuil A (grand) ; un > A » U 1 N 0 Lire A Tant que U ⩽ A Faire N N + 1 U U x 2 Fin Tant que Afficher N (un ) converge vers 2 ce que l'on note lim un = n -->+infinity Algorithme correspondant : le programme peut répondre à la question suivante : « Déterminer le plus petit entier n tel que l'écart entre un et 2 soit inférieur à un seuil E (petit)» U 3 N 1 Lire E Tant que ∣ U −2 ∣⩾ E Faire N N + 1 U 2 + / Fin Tant que Afficher N Cet algorithme présente le cas d'une suite définie par récurrence. [...]

[...] Il est donc utile de le généraliser aux sommes de termes de suites arithmétiques quelconques. Propriété : Plus généralement, si est une suite arithmétique, ∑ termes d ' une suite arithmétique = premier terme+ dernier terme xnombre de termes 2 Remarque : * Pour déterminer, le nombre de termes d'une somme : indice de fin - indice de départ + 1 Pour ) une suite arithmétique, u + . = u7+u 23 x car 23 - 7 + 1 = 17. [...]

[...] Remarques : * n est obligatoirement un entier naturel ( 0 ; 1 ; 2 ; . ) , ce qui veut dire que u0,5 ; u√2 ; u n'ont pas de sens. Par contre le terme un est un nombre réel. Certaines suites n'ont pas forcément comme terme initial u Par exemple (un)n⩾3 a pour terme initial u On peut imaginer une suite numérique comme une suite de nombre comme ci-dessous : u0 u1 u2 . un−1 un un+1 un+2 . [...]