Les suites en mathématiques : exercices corrigés

Résumé du document

Exercices corrigés, avec des indications nécessaires au bon commencement. Les corrections sont présentées par étapes.

Extraits

[...] e RETOUR AUX ENONCES Correction de l'exercice Notons P la propri´t´ Sn ee P est vraie: car S1 = Soit n . n 1. 1 = 1 et on a bien 1 On suppose que P est vraie. Montrons que P + est vraie. Sn+1 = Sn + 1 n+1 Or d'apr`s l'hypoth`se de r´currence, Sn e e e n 1. Donc Sn+1 n+1 1 Pour prouver P + il suffit donc d'avoir: n + n 1 + n + 1 + n. [...]

[...] e La suite (vn ) est une suite g´om´trique de raison de premier terme v1 = 2T . e e On peut donc ´crire: vn = (v1 = 2T = T 2n . e On cherche n tel que vn = S. Or T 229 = S et vn = T 2n . ce qui donne n = 29. Ainsi 2 n´nuphars mettront 29 jours ` recouvrir l'´tang. Et non pas 15 e a e RETOUR AUX ENONCES Correction de l'exercice On montre que un > 0 par r´currence: e u0 > 0 d'apr`s l'´nonc´. [...]

[...] e e e Supposons que un soit major´e. Il existe M R tq N n M. On aurait donc: M > n M Cette in´galit´ est vraie ce qui est absurde car e e n M La suite un est croissante, mais pas major´e: elle tend donc vers e Rmq: ceci n'est vrai que parce que un est croissante; une suite non major´e ne tend pas n´c´ssairement e e e vers On a prouv´ que un > 0. [...]

[...] Montrer ensuite que un et vn sont adjacentes. CORRECTION INDICATIONS Exercice 3 (Utilisation des suites extraites ) Soient (un une suite telle que les suites (u2n , (u2n+1 et (u3n convergent. Le but est de prouver que (un converge Peut on appliquer le r´sultat du cours : Si (u2n+1 et u2n convergent vers la mˆme limite alors la suite e e (un converge, et sa limite est l. ? 2. Prouver que u2n et u3n ont la mˆme limite. e 3. [...]

[...] e un n CORRECTION INDICATIONS 3 Indications pour l'exercice 1 Pas de difficult´s ici, appliquer simplement la d´finition d'une suite adjacente. e e RETOUR AUX ENONCES Indications pour l'exercice Pas de difficult´ e 2. Exprimer un+1 vn+1 en fonction de un vn . En d´duire le signe et le comportement de un vn . e RETOUR AUX ENONCES Indications pour l'exercice Bien sur que non Considerer la suite (u6n . N'est elle pas extraite ` la fois de u3n et u2n ? que peut on en d´duire ? [...]