Les suites de fonctions

Thèmes abordés

Suite de fonctions, mode de convergence, convergence simple, convergence uniforme, théorème, continuité, intégration, dérivation

Résumé du document

Le document est un cours (comprenant des exercices non corrigés) sur les définitions et les théorèmes fondamentaux des suites de fonctions.

Extraits

[...] Les suites de fonctions CHAPITRE 1 : LES SUITES DE FONCTIONS 1. Introduction Dans ce chapitre, on considère une suite de fonctions (fn ) dénies sur le même ensemble de dénition D ⊂ R et à valeurs réelles ou complexes. L'idée la plus naturelle est de dénir (si elle existe) une fonction f telle que : x ∈ f = lim fn n→+∞ Si une telle fonction f existe, on dit que f est la limite Simple de la suite (fn Cette notion est la première qui a été utilisée, mais avec cette convergence on n'a pas forcément la continuité de f même si les fonctions fn sont continues, c'est pour celà qu'on est ramené à étudier une autre mode de convergence : c'est la convergence Uniforme Les SUITES de fonctions : définitions et modes de convergence On note par F l'ensemble des fonctions dénies sur l'intervalle I ⊂ R à valeurs dans c'est un R-espace vectoriel. [...]

[...] Soit (fn ) une suite de fonctions dénies sur I ⊂ R. On dit que la suite de fonctions (fn ) converge en un point x ∈ I , si la suite numérique (fn converge. On dit que la suite de fonctions (fn ) converge simplement sur I vers une fonction f si : ∀x ∈ f lim fn = f ou n→+∞ lim fn − f = 0 n→+∞ est appelée limite simple de la suite (fn et on écrit : C.S.sur I z } { fn − − −− → f Pour x ∈ I , (fn est considérée comme une suite numérique. [...]

[...] (iii) La suite (fn0 ) converge uniformément sur l'intervalle I vers une fonction g. ALORS f est continument dérivable sur I et nous avons : ∀x ∈ f 0 = c.à.d. ∀x ∈ ( lim fn = lim fn0 n→+∞ n→+∞ Preuve : fn ∈ C 1 alors : Z x α ∈ fn = fn (α) + fn (t)dt α Exemples 3.3.1. √ ∈ C 1 π2 Soit (hn ) la suite de fonctions dénie par hn = sin(nx) n La suite (hn ) converge uniformément, sur [ vers la fonction h ∈ C 1 π2 dénie par = 0. [...]

[...] La convergence de la suite (fn ) est-t-elle uniforme sur R ? La convergence de la suite (fn ) est-t-elle uniforme sur l'intervalle I = [−1, ? Exercice 1.7 On considère la suite de fonctions (hn ) telles que : hn =   − nx ,  0 pour 0 x n pour x > n Déterminer la limite simple, de la suite de fonctions (hn ) sur . Montrer que : ∀x ∈ hn Montrer que (hn ) converge uniformément vers h sur tout segment Ia = a]. [...]

[...] Les fonctions (fn ) dénies sur par fn = sin(x + n1 forme une suite de fonctions sur R. nx , forme une suite de fonctions sur . Les fonctions (gn ) dénies par x ∈ , gn = 1+nx 2.1. La convergence Simple d'une suite de fonctions. Dénitions 2.1.1. [...]