Notions élémentaires sur les suites (HEC)

Résumé du document

Une suite est une collection infinie et ordonnée de nombres. Ainsi u = (0,2,4,6,8,10, ...) est une suite. On numérote les termes successifs d'une suite selon leur ordre d'apparition. Dans notre exemple, on a un = 2n. On peut définir cette suite par u = (un)nEN tel que pour tout n R N, un = 2n. On aurait peu décrire la suite u en décrivant la manière d'obtenir un terme à partir de son prédécesseur. Ici, un+1 = un+2 et la valeur de son 1er terme u0 = 0.

(...) Une suite peut être définie par une relation qui permet d'obtenir chaque terme à l'aide de ses deux prédecesseurs. Par exemple, la suite u = (1,1,2,3,4,8, ...), suite de Fibonacci, où un = un-1 + un-2 (...)

Extraits

[...] ] ( ) ) ( ) Or par définition, et sont solutions de l'équation ) ( ) et ( ( ) ) ( ) Alors ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D'où Donc ( ) est vraie. C'est ( Conclusion : par récurrence, le théorème est démontré. ( ) Exemple Soit une suite définie par et . [...]

[...] Cette dernière inégalité est vraie, donc par équivalence Montrons : ( ( ) ) ( ) 1 + , donc par équivalence ( ) Cette dernière inégalité est vraie, car par hypothèse ) est vraie. Finalement, on a bien , donc ( Conclusion : La propriété est vraie au rang initial 0 et est héréditaire. Donc par récurrence, Etudier le sens de variation de . ( ( Il vient : ) ) ( ) ) ) ( ) Donc Conclusion : ( Exemple 3 Soit ( Calculer est décroissante. définie par . Conjecturer. et Conclusion : je conjecture que Démontrer la conjecture. [...]

[...] Donc par récurrence, ( ) Page 7 sur 12 Cours réalisé par J. A. Toute copie de ce document est interdite, et passible de sanctions. Pour toute remarque, question, suggestion ou autre, me contacter à l'adresse suivante : Principe de récurrence forte On peut définir une suite pour laquelle chaque terme est défini à l'aide de tous ses prédécesseurs. Par exemple : Le principe de récurrence forte permet de démontrer des propriétés relatives à de telles suites. Théorème 3 Soit ( )une propriété dépendant de l'entier . [...]

[...] On calcule les premiers . la suite définie par et . Soit ( ) la propriété Initialisation ( ) est la propriété Hérédité Soit un entier naturel fixé. Supposons ( c'est-à-dire Or par hypothèse de l'énoncé, ( ) ) est vraie. Donc ( , ce qui est vrai par l'hypothèse de l'énoncé. c'est-à-dire , et montrons ( , et par hypothèse de récurrence ( ) . Il vient : Conclusion : la propriété est vraie au rang Exemple 2 Soit ( Montrer que Soit ( ) la propriété Initialisation ( ) est la propriété et est héréditaire, donc par récurrence ) la suite définie par . [...]

[...] pour , telles que : . Alors on peut trouver deux constantes ( ) et 3 Dans les deux cas, les constantes s'obtiennent à partir des conditions initiales. Page 11 sur 12 Cours réalisé par J. A. Toute copie de ce document est interdite, et passible de sanctions. Pour toute remarque, question, suggestion ou autre, me contacter à l'adresse suivante : Preuve (si Δ > Procédons pas récurrence d'ordre 2. Soit la propriété Initialisation ( ) est la propriété ( ) est la propriété ( ) et ( ) sont vraies si : { En résolvant, on peut choisir les constantes Hérédité Soit un entier fixé. [...]