Suites convergentes

Résumé du document

35 exercices corrigés sur les suites convergentes

Extraits

[...] S(n + La suite est-elle convergente ? Exercice 23. Equation xn + + . + x 1 = 0 On consid`re l'´quation : xn + + . + x 1 = 0. e e Prouver qu'il existe une unique racine positive, an . Montrer que la suite (an ) est d´croissante. e Montrer que an 2 (calculer an+1 1). 1 n est born´e. e Exercice 24. Suite n'ayant qu'une valeur d'adh´rence e Soit (un ) une suite r´elle. On appelle valeur d'adh´rence toute limite d'une sous-suite convergente extraite de (un e e Quelles sont les valeurs d'adh´rence d'une suite convergente ? [...]

[...] Soit une valeur d'adh´rence de (xn Si l'on suppose que (xn ) ne converge pas vers alors il existe un voisinage e de tel qu'il y a une infinit´ de termes dans et une infinit´ hors de b]. Ceci implique que = f e e n'est pas inclus dans et que \ contient une infinit´ de termes, donc (xn ) a une deuxi`me valeur e e d'adh´rence dans b[. e Exercice 35. Les suites (ln(un ) et (ln(1 + un ) sont adjacentes. [...]

[...] suites convergentes Exercice 1. lim([un]) Soit (un ) une suite r´elle convergeant vers e Exercice 2. Limites doubles diff´rentes e nk Comparer lim lim et lim + 1)k R. La suite est-elle convergente ? nk . + 1)k lim Exercice 3. Suites convergeant vers 0 u e Soit (un ) une suite r´elle telle que 1 0. Montrer que un 0. un un 0 2 Mˆme question avec 1 + un e (un ) est born´e. e Exercice 4. un vn 1 0 un 1 Soient (un ) et (vn ) deux suites v´rifiant : 0 vn 1 e Que pouvez-vous dire de ces suites ? [...]

[...] + Montrer que la suite (un ) est convergente. Calculer le nombre e = lim un ` pr`s. a e On note vn = 1 + n D´velopper vn et montrer que vn e 1/n e. p k=0 On fixe p N et ε > 0. Montrer que pour n suffisament grand, vn Que pouvez-vous en d´duire ? e 1 ε. n Exercice 13. Etude de C2n /4n 1 3 5 . (2n On pose un = 4 6 . [...]

[...] n2 Exercice 10. Divergence de cos(nt) et sin(nt) Soit θ R. Montrer que si θ 0 les suites (cos(nθ)) et (sin(nθ)) sont toutes les deux divergentes (montrer que si l'une converge, alors l'autre aussi, puis obtenir une contradiction). Exercice 11. Somme des 1/k Soit un = 1 + + . + . n 2 Chercher lim (u2n un puis lim un . 1 Comparer , k + 1 et k k 1. En d´duire que la suite un 2 n est convergente. [...]