Analyse d'un système dynamique discret : la suite logistique

Résumé du document

Nous allons utiliser des méthodes de simulation numérique pour la prévision de croissance d'une population de bactéries. La loi d'évolution de la population suivant le modèle de Verhulst, nous étudions donc la suite logistique pour faire nos simulations. Au cours de ce travail nous allons voir les différents comportements de cette suite en fonction des deux valeurs initiales. Après plusieurs tests validant notre implémentation, nous aurons une réflexion sur la pertinence des résultats pour certaines valeurs initiales particulières (...)

Extraits

[...] 𝑥 1 𝑥 Ici, on a donc : 𝑓 𝑥 = 𝜇 𝑥 + 𝜇. 𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝜇 𝜇. 𝑥 𝜇. 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝜇. 2𝑥) 6 Or d'après le théorème de Banach, on doit avoir 𝑓 (𝑥) = 𝜇. 2𝑥) 1. D'où : 𝑓 (𝑙) = 𝜇. 2𝑙) 1 𝑓 (𝑙) = 𝜇. [...]

[...] Analyse d'un système dynamique discret La suite logistique Introduction Nous allons utiliser des méthodes de simulation numérique pour la prévision de croissance d'une population de bactéries. La loi d'évolution de la population suivant le modèle de Verhulst, nous étudions donc la suite logistique pour faire nos simulations. Au cours de ce travail nous allons voir les différents comportements de cette suite en fonction des deux valeurs initiales. Après plusieurs tests validant notre implémentation, nous aurons une réflexion sur la pertinence des résultats pour certaines valeurs initiales particulières Etude des comportements limites La suite logistique peut être considérée comme une modélisation simple de l'évolution d'une population. [...]

[...] Par définition, on sait que 𝑥𝑛+1 = 0 et que la suite logistique vaut 𝑥𝑛+1 = 𝜇. 𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 . On en déduit que 𝑥𝑛 = 𝑙 également. D'où : 𝑙 = 𝜇. 𝑙 1 𝑙 , comme vu précédemment. Nous savons déjà que si : Si 𝜇 0 ; 1 𝑥𝑛 = 0 Si 𝜇 0 𝑥𝑛 = 𝜇−1 𝜇 Pour que la suite converge effectivement, il faut satisfaire le théorème de Banach tel que : 𝑓 (𝑥) [...]

[...] Dans un second temps, nous simulons avec les valeurs suivantes : 𝑥0 = 0,3 𝜇 = 1,3 On remarque que quand 𝜇 est supérieur à la suite logistique tend vers une limite 𝑙 Nous essayons par le calcul de vérifier ces résultats. On sait que : 𝑥𝑛+1 = 𝑙 𝑥𝑛 = 𝑙 On a donc : 𝑥𝑛+1 = 𝜇. 𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 𝑙 = 𝜇. 𝑙 1 𝑙 Si 𝜇 = 0 𝑙 = 𝜇. 𝑙 1 𝑙 = 0 𝑙 = 0 Si 𝜇 = 1 𝑙 = 𝜇. [...]