Statistiques et probabilités

Résumé du document

La théorie des probabilités est une branche des mathématiques qui s'occupe des phénomènes aléatoires.

Il y a deux caractéristiques à un phénomène aléatoire :
1. on ne peut pas prédire l'avenir, c'est la prévisibilité,
2. la régularité de long terme.

Définition du modèle :
1. identifier tous les résultats possibles,
2. identifier tous les événements auxquels on s'intéresse,
3. attribuer des probabilités aux événements.

Le modèle d'une expérience aléatoire peut mathématiquement se représenter par un triplet qui est constitué de l'ensemble des résultats possibles, de l'ensemble des événements et d'une mesure de la probabilité de ces événements (...)

Extraits

[...] Donc 𝑷 𝑨 = 𝟏 𝑷 𝑨𝒄 , et ainsi, 𝑷 𝑨 𝟏. P.2. : 𝑃 = 0 Démonstration : 𝜴 = 𝜴 Or Ω et sont incompatibles, donc 𝑷 𝜴 = 𝑷 𝜴 = 𝑷 𝜴 + 𝑷 = 𝟏. Donc cela n'est possible que si 𝑷 = 𝟎. P.3. : Pour deux évènements de 𝛺 tels que 𝐴 est inclus dans 𝐵 (Figure on a les relations : 𝑃 𝐵\𝐴 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 . [...]

[...] Ici, 𝑃 𝐴 𝐵 est appelé probabilité conjointe de A et B et 𝑃 𝐵 probabilité marginale de B. Par calcul, on trouve aussi : 𝑃 𝐵𝐴 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐴 ii) Définition de la formule Soient l'expérience aléatoire impossible lié (associé) à ℰ. ℰ et l'expérience réduite ℰ𝐵𝑟 où B est un événement non Leur modèle mathématique est représenté par : ℰ: 𝑟 Ω, 𝒜 = 𝒫 Ω , 𝑃 , ℰ𝐵 : 𝛺𝑟𝐵 , 𝒜𝑟𝐵 = 𝒫 𝒜𝑟𝐵 , 𝑃𝑟𝐵 , 𝑃 𝛺 = 𝑃𝑟𝐵 𝛺𝑟𝐵 = 𝑃𝑟𝐵 𝐵 = 1 ∃𝑘 ℝ+ 𝑡𝑞 𝑃𝐵𝑟 𝐴 𝐵 = 𝑘𝑃 𝐴 𝐵 Mais 𝑘 = 𝑃 1 𝐵 , donc : 𝑃𝐵𝑟 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 = 8 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 Exemple On tire dans un jeu de cartes deux cartes et on s'intéresse au fait d'obtenir deux rois. [...]

[...] : Soit 𝛺, 𝒫 𝛺 = 𝒜 𝑃 et une famille 𝐴 à 𝑛 évènements de 𝛺. 𝑛 𝑃 𝑛 𝐴𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐴𝑖 𝑖=1 𝑃 𝐴𝑖 𝐴𝑗 + 𝑖=1 𝑗 >𝑖 𝑛 ∙𝑃 𝑛 𝑃 𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑘 + 𝑛−1 𝑖=1 𝑗 >𝑖 𝑘>𝑗 𝐴𝑖 𝑖=1 C'est le principe d'inclusion exclusion. IV) Probabilité conditionnelle et indépendante Etude d'un exemple Un couple veut avoir des enfants. Quelle est la probabilité pour que les trois enfants soient du même sexe ? [...]

[...] X1 X2 X3 X4 Ainsi, si l'on range les valeurs de 𝑋 par ordre croissant, 𝑥0 [...]

[...] Statistiques et Probabilités Chapitre 1. Notion de probabilités Introduction La théorie des probabilités est une branche des mathématiques qui s'occupe des phénomènes aléatoires. Il y a deux caractéristiques à un phénomène aléatoire : 1. on ne peut pas prédire l'avenir c'est la prévisibilité 2. la régularité de long terme. Définition du modèle : 1. identifier tous les résultats possibles identifier tous les événements auxquels on s'intéresse attribuer des probabilités aux événements. Le modèle d'une expérience aléatoire peut mathématiquement se représenter par un triplet qui est constitué de l'ensemble des résultats possibles, de l'ensemble des événements et d'une mesure de la probabilité de ces événements. [...]